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Valore assoluto
Definizione
Il valore assoluto è una funzione reale di variabile reale, $|\cdot|: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, che associa alla variabile $x$ il numero stesso se $x$ è non negativa, $-x$ se invece $x$ è negativa. Il valore assoluto di $x$ si indica con $|x|$, e risulta
$|x| = \{(x, \quad "se " x \ge 0),(-x, \quad "se " x < 0):}$
Di seguito viene riportato il grafico della funzione valore assoluto.
Proprietà del valore assoluto
Il valore assoluto è una funzione definita positiva, in quanto gode delle due seguenti proprietà
$|x| \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$
$|x| = 0 \iff x = 0$
Il valore assoluto è anche una funzione positivamente omogenea, infatti
$|x \cdot y| = |x| \cdot |y| \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$
$|\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|} \quad \forall x \in \mathbb{R}, \quad \forall y \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$
Vale anche la disuguaglianza traingolare, ovvero
$|x + y| \le |x| + |y| \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$
Grazie a queste tre condizioni si può affermare che il valore assoluto è una norma. Conseguenza diretta della disuguaglianza triangolare è la seguente
$||x| - |y|| \le |x - y| \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$
Inoltre, per ogni $n \in \mathbb{N}$ pari, risulta
$\root{n}{x^n} = |x| \quad \forall x \in \mathbb{R}$
Le seguenti proprietà, utili per la risoluzione di equazioni e disequazioni con valori assoluti, sono conseguenza diretta della definizione
$|x| = |c| \implies x = \pm c$
$|x| = c \implies x = \pm c$
$|x| \le c \implies \{(\nexists x \in \mathbb{R}, \quad "se " c < 0),(x = 0, \quad "se " c = 0),(-c \le x \le c, \quad "se " c > 0):}$
$|x| < c \implies \{(\nexists x \in \mathbb{R}, \quad "se " c \le 0),(-c < x < c, \quad "se " c > 0):}$
$|x| \ge c \implies \{(x \in \mathbb{R}, \quad "se " c \le 0),(x \le -c \vee x \ge c, \quad "se " c > 0):}$
$|x| > c \implies \{(x \in \mathbb{R}, \quad "se " c < 0),(x \ne 0, \quad "se " c = 0),(x < -c \vee x > c, \quad "se " c > 0):}$
Infine il valore assoluto di un numero può anche essere espresso per mezzo del massimo fra $x$ e $-x$
$|x| = \max \{x, -x\} \quad \forall x \in \mathbb{R}$
Funzione segno
Definizione
La funzione segno è una funzione reale di variabile reale, $"sgn": \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, che vale $1$ quando il suo argomento è positivo, $-1$ quando il suo argomento è negativo, $0$ atrimenti. In formule
$"sgn"(x) = \{(1, \quad "se " x > 0),(0, \quad "se " x = 0),(-1, \quad "se " x < 0):}$
Di seguito viene riportato il grafico della funzione segno.
Proprietà della funzione segno
Proprietà della funzione segno
$|x| = x \cdot "sgn"(x) \quad \forall x \in \mathbb{R}$
$"sgn"(x) = \frac{|x|}{x} = \frac{x}{|x|} \quad \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$
Parte intera
Parte intera
Definizione
Dato un numero reale $x$, si definisce parte intera superiore di $x$, e si indica con $\lceil x \rceil$, il più piccolo intero non minore di $x$. Analogamente si indica la parte intera inferiore di $x$ come il più grande intero minore o uguale di $x$, e si indica con $\lfloor x \rfloor$. Sono riportati di seguito i grafici delle funzioni parte intera superiore e inferiore, rispettivamente.
Proprietà della parte intera
Proprietà
$\lfloor x \rfloor = x = \lceil x \rceil \iff x \in \mathbb{Z}$
$\lfloor \lfloor x \rfloor \rfloor = \lfloor x \rfloor \quad \forall x \in \mathbb{R}$
$\lceil \lceil x \rceil \rceil = \lceil x \rceil \quad \forall x \in \mathbb{R}$
$\lfloor x + y \rfloor = x + \lfloor y \rfloor \quad \forall (x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{R}$
$\lceil x + y \rceil = x + \lceil y \rceil \quad \forall (x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{R}$
$\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1 \quad \forall x \in \mathbb{R}$
$x \le \lceil x \rceil < x + 1 \quad \forall x \in \mathbb{R}$
$\lceil x \rceil = - \lfloor -x \rfloor \quad \forall x \in \mathbb{R}$
$x = \lfloor \frac{x}{2} \rfloor + \lceil \frac{x}{2} \rceil \quad \forall x \in \mathbb{Z}$
Infine, se $m$ e $n$ sono due interi primi fra di loro, risulta
$\sum_{i=1}^{n-1} \lfloor i \frac{m}{n} \rfloor = \frac{(m-1)(n-1)}{2}$
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