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Formulario Valore atteso, varianza, covarianza (caso continuo)
| Valore atteso, varianza, covarianza (caso continuo) | di Gianni Sammito |
Valore atteso
Definizione
Si dice che una variabile aleatoria continua $X$
ha speranza matematica finita se e solo se
$\int_{-\infty}^{+\infty} |x| f_X(x) dx < +\infty$ ($f_X$ è la densità di probabilità di $X$)
e in tal caso si chiama valore atteso di $X$ la quantità
$E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x) dx$
Caso vettoriale
Se $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ è una
variabile aleatoria vettoriale, il suo valore atteso è il vettore dei
valori attesi delle componenti, cioè
$E[X] = (E[X_1], E[X_2], \ldots, E[X_n])$
Proprietà del valore atteso
- Linearità
$E[X + Y] = E[X] + E[Y]$
$E[\alpha X] = \alpha E[X]$, per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$
- Valore atteso di una funzione di variabili aleatorie
Se
$X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ è una variabile aleatoria vettoriale con densità congiunta $f_X(x)$ e se $\phi$ è una
funzione $\phi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, la variabile aleatoria $\phi(X)$ ha speranza matematica finita se e solo se
$\int_{\mathbb{R}^n} |\phi(x)| f_X(x) dx < +\infty$
e in tal caso il valore atteso di $\phi(X)$ vale
$E[\phi(X)] = \int_{\mathbb{R}^n} \phi(x) f_X(x) dx$
- Valore atteso di un prodotto: se $X$ e $Y$ sono variabili aleatorie indipendenti, allora
$E[X Y] = E[X] E[Y]$
Varianza
Se $X$ è una variabile aleatoria scalare, si definisce varianza di $X$ la quantità
$"Var"(X) = \sigma_X^2 = E[(X - E[X])^2]$
Se $X$ è una variabile aleatoria continua con densità di probabilità $f_X(x)$, allora
$"Var"(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - E[X])^2 f_X(x) dx$
La quantità $\sigma_X = \sqrt{"Var"(X)}$ si chiama deviazione standard.
Disuguaglianza di Chebyshev
Fissato $\eta \in \mathbb{R}^+$, risulta
$P(\{|X - E[X]| > \eta\}) \le \frac{"Var"(X)}{\eta^2}$
Proprietà della varianza
$"Var"(X) = E[X^2] - (E[X])^2$
$"Var"(\alpha X) = \alpha^2 "Var"(X)$, per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$
$"Var"(\alpha + X) = "Var"(X)$, per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$
Covarianza
Date due variabili aleatorie scalari $X$ e $Y$, si definisce covarianza, fra $X$ e $Y$, la quantità
$"Cov"(X, Y) = E[(X - E[X]) \cdot (Y - E[Y])]$
Se $X$ e $Y$ sono variabili aleatorie continue con densità di probabilità congiunta pari a $f_{X,Y}(x,y)$, allora
$"Cov"(X, Y) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} (x - E[X]) (y - E[Y]) f_{X,Y}(x,y) dx dy$
Proprietà
$"Cov"(X, Y) = E[X Y] - E[X] E[Y]$
$"Var"(X + Y) = "Var"(X) + 2 "Cov"(X, Y) + "Var"(Y)$
$"Cov"(X, Y) = "Cov"(Y, X)$
Coefficiente di correlazione
Date due variabili aleatorie scalari $X$ e $Y$, si definisce coefficiente di correlazione la quantità
$\rho_{X, Y} = \frac{"Cov"(X, Y)}{\sqrt{"Var"(X)} \cdot \sqrt{"Var"(Y)}}$
Due variabili aleatorie si dicono scorrelate se
e solo se $\rho_{X, Y} = 0$, cioè se e solo se $"Cov"(X, Y) = 0$, o
equivalentemente $E[X Y] = E[X] E[Y]$
Nota: due variabili aleatorie indipendenti sono anche scorrelate, non è vero, in generale, il viceversa.
Matrice di covarianzaMatrice di covarianza
Se $X = ((X_1),(X_2),(\vdots),(X_n))$ è una variabile aleatoria vettoriale, si definisce matrice di covarianza di $X$
$\Sigma_X = E[(X - E[X]) \cdot (X - E[X])^T]$ (i vettori sono intesi come colonne)
La matrice di covarianza di $X$ equivale a
$\Sigma_X = (("Var"(X_1), \quad "Cov"(X_1,
X_2), \quad \ldots, \quad "Cov"(X_1, X_n)),("Cov"(X_2, X_1), \quad
"Var"(X_2), \quad \ldots, \quad "Cov"(X_2, X_n)),(\vdots, \quad \vdots,
\quad \ddots, \quad \vdots),("Cov"(X_n, X_1), \quad "Cov"(X_n, X_2),
\quad \ldots, \quad "Var"(X_n)))$
Si nota che l'elemento di $\Sigma_X$ di posto $ij$ vale
$\Sigma_{X_{ij}} = \{("Var"(X_i), \quad "se " i = j),("Cov"(X_i, X_j), \quad "se " i \ne j):}$
Proprietà
La matrice di covarianza è simmetrica
$\Sigma_X = \Sigma_X^T$
dato che $"Cov"(X_i, X_j) = "Cov"(X_j, X_i)$.
Valore atteso condizionale
Date due variabili aleatorie continue $X$ e $Y$, il valore atteso condizionale di $X$ dato $Y = y$ vale
$E_{X | Y}[X | y] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f_{X | y}(x | y) dx$
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