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Formulario Variabili aleatorie continue
| Variabili aleatorie continue | di Gianni Sammito |
Definizione
Se $(\Omega, \bar{A}, P)$ è uno spazio di
probabilità, una variabile aleatoria (scalare) è una funzione $X:
\Omega \to \mathbb{R}$ tale che
$\{\omega \in \Omega: X(\omega) \le t\} \in \bar{A}$ per ogni $t \in \mathbb{R}$
Una variabile aleatoria continua scalare è una
variabile aleatoria scalare che può assumere un'infinità non numerabile di valori.
Esempio: la variabile aleatoria $X = "tempo di vita di un animale"$ è una variabile aleatoria continua.
Proprietà
Se $(\Omega, \bar{A}, P)$ è uno spazio di probabilità e $X: \Omega \to \mathbb{R}$ è una variabile aleatoria, allora
$\{\omega \in \Omega: X(\omega) > t \} \in \bar{A}$ per ogni $t \in \mathbb{R}$
$\{\omega \in \Omega: X(\omega) < t\} \in \bar{A}$ per ogni $t \in \mathbb{R}$
$\{\omega \in \Omega: X(\omega) \ge t\} \in \bar{A}$ per ogni $t \in \mathbb{R}$
$\{\omega \in \Omega: X(\omega) = t \} \in \bar{A}$ per ogni $t \in \mathbb{R}$
Per semplicità notazionale, si pone
$\{X \in A\} =_{"def"} \{\omega \in \Omega: X(\omega) \in A\}$
$\{X < t\} =_{"def"} \{\omega \in \Omega: X(\omega) < t\}$
Funzione di distribuzione di probabilità
Se $X$ è una variabile aleatoria, si definisce funzione di distribuzione di probabilità
$F_X(x) = P(\{X \le x\})$
Proprietà
$P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a)$ (supposto $a < b$)
$P(X > a) = 1 - F_X(a)$
$0 \le F_X(x) \le 1$, per ogni $x \in \mathbb{R}$
$F_X(x)$ è una funzione non decrescente
$\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$
$\lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1$
$F_X(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} F_X(x)$, per ogni $x_0 \in \mathbb{R}$ ($F_x$ è continua da destra)
Esempio: la funzione di Heaviside, definita da
$H(x) = \{(0, \quad "se " x < 0),(1, \quad "se " x \ge 0):}$
è una funzione di distribuzione di probabilità, infatti ne rispetta tutte le proprietà.
Caso in cui $F_X$ è continua
Se $F_X$ è continua in $x$, allora
$P(X = x) = 0$
Se $F_X$ è continua per ogni $x \in \mathbb{R}$, e $a < b$, allora
$P(a < X < b) = P(a \le X < b) = P(a < X \le b) = P(a \le X \le b)$
Funzione di densità di probabilità
Definizione
Una funzione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ si una dice densità di probabilità se soddisfa queste due proprietà
$f(x) \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \qquad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1$
Data una variabile aleatoria $X$
con funzione di distribuzione $F_X(x)$, e data una densità $f(x)$, la
variabile $X$ ha densità di probabilità $f_X(x) = f(x)$ se e solo se
$F_X(x) = \int_{-\infty}^x f(u) du$ $\quad \forall x \in \mathbb{R}$
Proprietà
- Se $F_X$ è differenziabile con derivata continua, allora
$f_X(x) = \frac{d}{dx} F_X(x)$
- Se $X$ ammette, come densità, una
funzione $f_X(x)$, essa non è unica (basta modificarne il valore in un
insieme di misura nulla).
- Se $X$ ha densità di probabilità $f_X(x)$, e $a < b$, allora
$P(a \le X \le b) = \int_a^b f_X(x) dx$
Scritto da , il 08-11-2008 21:32 complimenti a chi lo capisce... e ti devi pure fare i conti per pubblicare il commento.... ahhahhaha Scrivi Commento
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