Definizione
Una variabile aleatoria vettoriale continua è un vettore di variabili aleatorie scalari continue
$X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$, oppure $X = ((X_1),(X_2),(\vdots),(X_n))$
dove ogni componente $X_i$, $1 \le i \le n$, è una variabile aleatoria scalare continua.
Funzione di distribuzione di probabilità congiunta
Se $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ è una variabile aleatoria vettoriale, e $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ è un generico vettore di $\mathbb{R}^n$, allora la funzione di distribuzione congiunta di $X$ è data da
$F_X(x) = P(\{X_1 \le x_1\} \cap \{X_2 \le x_2\} \cap \ldots \cap \{X_n \le x_n\})$
Funzioni di distribuzione marginali
Se $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ è una variabile aleatoria vettoriale, le funzioni di distribuzione delle componenti di $X$ sono dette funzioni di distribuzioni marginali di $X$.
Caso $n=2$
Se $X = (X_1, X_2)$ è una variabile aleatoria con funzione di distribuzione di probabilità $F_X(x) =F_X(x_1, x_2)$, allora le funzioni di distribuzioni marginali valgono
$F_{X_1}(x_1) = \lim_{x_2 \to +\infty} F_X(x_1, x_2)$
$F_{X_2}(x_2) = \lim_{x_1 \to +\infty} F_X(x_1, x_2)$
Funzione di densità di probabilità congiunta
Una funzione $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ si dice una densità di probabilità se soddisfa queste due proprietà
$f(x) \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n \qquad \int_{\mathbb{R}^n} f(x) dx = 1$
Data una variabile aleatoria vettoriale $X$ con funzione di distribuzione $F_X(x)$ e una densità di probabilità $f(x)$, si dice che $X$ ha densità di probabilità $f_X(x) = f(x)$ se e solo se
$F_X(x) = \int_A f(x) dx$
dove $A = \{y \in \mathbb{R}^n: y_1 \le x_1, y_2 \le x_2, \ldots, y_n \le x_n\}$, con $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ e $y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)$.
Proprietà
- Se $F_X(x)$ è differenziabile su $\mathbb{R}^n$ (tranne al più un numero finito di punti), allora
$f_X(x) = f_X(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \frac{\partial^n}{\partial x_1 \partial x_2 \ldots \partial x_n} F_X(x)$
cioè la densità di probabilità congiunta è la derivata $n$-esima mista della funzione di distribuzione congiunta.
- Se $X$ ha densità di probabilità $f_X(x)$, la probabilità di eventi $\{X \in B\}$ equivale a
$P(\{X \in B\}) = \int_B f_X(x) dx$, per ogni $B \subseteq \mathbb{R}^n$
Funzioni di densità di probabilità marginali
Funzioni di densità di probabilità marginali
Se $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ è una variabile aleatoria vettoriale, le densità di probabilità delle variabili aleatorie scalari $X_1, X_2, \ldots, X_n$ si chiamano densità di probabilità marginali di $X$.
Caso $n = 2$
Se $X = (X_1, X_2)$ ha densità di probabilità $f_X(x_1, x_2)$, le densità di probabilità marginali valgono
$f_{X_1}(x_1) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x_1, x_2) d x_2$
$f_{X_2}(x_2) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x_1, x_2) d x_1$
Powered by AkoComment Tweaked Special Edition v.1.4.6
AkoComment © Copyright 2004 by Arthur Konze - www.mamboportal.com
All right reserved |
Formulario 
