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Formulario Variabili aleatorie discrete scalari
| Variabili aleatorie discrete scalari | di Gianni Sammito |
Definizione
Se $(\Omega, \bar{A}, P)$ è uno spazio di probabilità, una variabile aleatoria (scalare) è una funzione $X: \Omega \to \mathbb{R}$ tale che
$\{\omega \in \Omega: X(\omega) \le t\} \in \bar{A}$ per ogni $t \in \mathbb{R}$
Una variabile aleatoria discreta scalare è una variabile aleatoria scalare che può assumere un numero finito o, al più, un'infinità numerabile di valori (senza punti di accumulazione).
Esempio: supponiamo di avere un dado (a sei facce) non truccato. Se definiamo
$X = \{(1, \quad "se esce " 1),(2, \quad "se esce " 2),(3, \quad "se esce " 3),(4, \quad "se esce " 4),(5, \quad "se esce " 5),(6, \quad "se esce " 6):}$
allora $X$ è una variabile aleatoria discreta.
Proprietà
Se $(\Omega, \bar{A}, P)$ è uno spazio di probabilità e $X: \Omega \to \mathbb{R}$ è una variabile aleatoria, allora
$\{\omega \in \Omega: X(\omega) > t \} \in \bar{A}$ per ogni $t \in \mathbb{R}$
$\{\omega \in \Omega: X(\omega) < t\} \in \bar{A}$ per ogni $t \in \mathbb{R}$
$\{\omega \in \Omega: X(\omega) \ge t\} \in \bar{A}$ per ogni $t \in \mathbb{R}$
$\{\omega \in \Omega: X(\omega) = t \} \in \bar{A}$ per ogni $t \in \mathbb{R}$
Per semplicità notazionale, si pone
$\{X \in A\} =_{"def"} \{\omega \in \Omega: X(\omega) \in A\}$
$\{X < t\} =_{"def"} \{\omega \in \Omega: X(\omega) < t\}$
La probabilità di eventi del tipo $\{X \in A\}$ equivale a
$P(\{X \in A\}) = \sum_{x_k \in A} P(\{X = x_k\})$
Esempio: calcolare la probabilità che, lanciando un dado non truccato, esca un numero pari. Sia $X$ la variabile aleatoria discerta definita nell'esempio precedente, si richiede di calcolare $P(\{X \in A\})$, dove $A = \{2, 4, 6\}$. Data l'ipotesi di equiprobabilità vale
$P(\{X = 1\}) = P(\{X = 2\}) = P(\{X = 3\}) = P(\{X = 4\}) = P(\{X = 5\}) = P(\{X = 6\}) = \frac{1}{6}$
quindi
$P(\{X \in A\}) = \sum_{x_k \in A} P(\{X = x_k\}) = P(\{X = 1\}) + P(\{X = 2\}) + P(\{X = 3\}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$
Densità di probabilità discreta
Se $X$ è una variabile aleatoria discreta, la funzione
$p(x_k) = P(\{X = x_k\})$
si chiama funzione di densità di probabilità discreta. Se $x$ non è uno dei valori assunti da $X$, vale $p(x) = P(\{X = x\}) = 0$.
Proprietà
- Una densità di probabilità discreta è una funzione $p: \mathbb{R} \to [0,1]$
- Vale $p(x) > 0$ in (al più) un'infinità numerabile di punti, $x_1, x_2, \ldots, x_k, \ldots$, e $p(x) = 0$ altrove
- Risulta $\sum_{k=1}^{+\infty} p(x_k) = 1$, se $\{x_k\}_{k=1}^{+\infty}$ è l'insieme di tutti e soli i valori che la variabile aleatoria può assumere
Esempio: sia $X$ la variabile aleatoria definita nei due esempi precedenti. Data l'ipotesi di equiprobabilità, la sua densità di probabilità vale
$p(x) = \{(\frac{1}{6}, \quad "se " x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}),(0, \quad "altrimenti"):}$
Esempio: supponiamo di avere una moneta truccata, in modo che la probabilità che esca testa valga $p$, la probabilità che esca croce valga $1 - p$, e supponiamo di lanciarla $n$ volte. La variabile aleatoria $X = "numero di volte che esce testa"$ è una variabile aleatoria discreta, e la sua densità di probabilità vale
$p(k) = \{(((n),(k)) p^k (1-p)^{n-k}, \quad "se " k \in \{0, 1, \ldots, n\}),(0, \quad "altrimenti"):}$
$p(k)$ indica la probabilità che esca testa per $k$ volte su $n$ lanci. La probabilità che esca testa $k$ volte è $p^k$ (sono eventi indipendenti, ognuno con probabilità $p$), la probabilità che esca croce nei restanti casi (che sono $n-k$) è $(1-p)^{n-k}$ (sono eventi indipendenti, ognuno con probabilità $1-p$), i possibili modi con cui possono accadere questi eventi sono $C_{n,k} = ((n),(k))$, pertanto la probabilità che escano $k$ teste su $n$ lanci è proprio $((n),(k)) p^k (1-p)^{n-k}$. Notare che
$\sum_{k=0}^{+\infty} p(k) = \sum_{k=0}^n ((n),(k)) p^k (1-p)^{n-k} = (p + 1 - p)^n = 1^n = 1$ (binomio di Newton)
Quando una variabile aleatoria $X$ segue questa densità di probabilità si dice che è distribuita come una binomiale $B(n, p)$, e si scrive $X \sim B(n, p)$.
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