Definizione
Se $(\Omega, \bar{A}, P)$ è uno spazio di probabilità, una variabile aleatoria vettoriale $X$ è una funzione $X: \Omega \to \mathbb{R}^n$
$X(\omega) = (X_1(\omega), X_2(\omega), \ldots, X_n(\omega))$
dove ogni componente è una variabile aleatoria scalare. Dunque una variabile aleatoria discreta vettoriale è un vettore di variabili aleatorie scalari.
Densità di probabilità congiunta (discreta)
Data un variabile aleatoria discreta vettoriale $X$ (a $n$ dimensioni), fissato $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$, la densità di probabilità congiunta di $X$ è definita come
$p(x) = P(\{X = x\}) = P(\{X_1 = x_1\} \cap \{X_2 = x_2\} \cap \ldots \cap \{X_n = x_n\})$
Proprietà
1) $p(x) \in [0,1]$ per ogni $x \in \mathbb{R}^n$
2) $p(x) > 0$ solo in (al più) un'infinità numerabile di punti, $x^{(1)}, x^{(2)}, \ldots, x^{(k)}, \ldots$, e $p(x) = 0$ altrove
3) $\sum_{k} p(x^{(k)}) = 1$, se $x^{(1)}, x^{(2)}, \ldots, x^{(k)}, \ldots$ sono tutti e soli i valori che la $X$ può assumere (notare che $x^{(k)}$ è un vettore di $\mathbb{R}^n$, cioè $x^{(k)} = (x_1^{(k)}, x_2^{(k)}, \ldots, x_n^{(k)})$)
Densità di probabilità marginali
Data una variabile aleatoria vettoriale $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$, le densità di probabilità delle componenti $X_i$ si chiamano densità di probabilità marginali di $X$. Dalla densità di probabilità congiunta di $X$ si può sempre risalire alle marginali, non è sempre vero il viceversa.
Caso $n=2$
Sia $X = (X_1, X_2)$ è una variabile aleatoria vettoriale, e sia $p$ la densità di probabilità congiunta. Se $x^{(1)}, x^{(2)}, \ldots, x^{(k)}, \ldots$ sono tutti e soli i valori che può assumere $x$, dove $x^{(k)} = (x_1^{(k)}, x_2^{(k)}$, le due marginali valgono
$p_1(z) = \sum_{k} p(z, x_2^{(k)})$
$p_2(z) = \sum_{k} p(x_1^{(k)}, z)$
Variabili aleatorie indipendenti
Variabili aleatorie indipendenti
Si dice che $n$ variabili aleatorie $X_1, X_2, \ldots, X_n$ sono indipendenti se e solo se
$P(\{X_1 \in A_1, X_2 \in A_2, \ldots, X_n \in A_n\}) = P(\{X_1 \in A_1\}) \cdot P(\{X_2 \in A_2\}) \cdot \ldots \cdot P(\{X_n \in A_n\})$
per ogni $A_1, A_2, \ldots, A_n \subseteq \mathbb{R}$.
Densità di probabilità congiunta e marginale
Se $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$, e le variabili $X_1, X_2, \ldots, X_n$ sono indipendenti, allora la densità di probabilità congiunta di $X$ è uguale al prodotto delle densità di probabilità marginali
$p(x) = p_1(x_1) \cdot p_2(x_2) \cdot \ldots \cdot p_n(x_n)$
dove $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$. Nel caso di variabili aleatorie indipendenti si può passare dalla congiunta alle marginali e dalle marginali alla congiunta.
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