(0,1) compatto in \( \displaystyle {\mathbb{{{R}}}} \)???

[Fox]

Sia \( \displaystyle {C}\subset{X} \)
dire che \( \displaystyle {C} \) è compatto significa che esiste un ricoprimento finito di aperti di \( \displaystyle {X} \), cioè \( \displaystyle {A}_{{i}}\subset{X}\ \ \forall{i} \) e \( \displaystyle {C}\subset{\bigcup_{{{i}={1}}}^{{n}}}{A}_{{i}} \)

ma allora scusate, a meno di errori miei stupidi nella definizione,
ragionando in \( \displaystyle {\mathbb{{{R}}}} \) sia \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \) che \( \displaystyle {\left({0},{1}\right)} \) sarebbero compatti??? basta prendere \( \displaystyle {\left(-{1},{0.7}\right)} \) e \( \displaystyle {\left({0.3},{1.5}\right)} \) per entrambi???

[vict85]

No, significa che per ogni ricoprimento aperto di C esiste un sottoricoprimento finito.

(0,1) non è compatto.

P.S: per un ricoprimento aperto di (0,1) potevi anche prendere (0,1) stesso...

[pat87]

Sì, ma la definizione di compatto non è quella. La giusta definizione è PER OGNI ricoprimento aperto di quell'insieme ESISTE un sottoricoprimento finito.
Cosa vuol dire? Che se hai una famiglia infinita di aperti che ricoprono il tuo insieme, allora puoi estrarre un sottoinsieme di quella famiglia che sia finito coprendo ancora quell'insieme.
In questa ottica \( \displaystyle {\left({0},{1}\right)} \) non sarebbe più compatto perché ad esempio, prendendo il ricoprimento

\( \displaystyle {\left({0},{1}\right)}={\left({0},\frac{{1}}{{2}}\right)}\cup{\left(\frac{{1}}{{4}},\frac{{2}}{{3}}\right)}\cup{\left(\frac{{1}}{{2}},\frac{{3}}{{4}}\right)}\cup{\left(\frac{{2}}{{3}},\frac{{4}}{{5}}\right)}\cup{\left(\frac{{3}}{{4}},\frac{{5}}{{6}}\right)}\cup\ldots.\cup{\left(\frac{{i}}{{{i}+{1}}},\frac{{{i}+{2}}}{{{i}+{3}}}\right)}\cup\ldots \)

questo non ammette un sottoricoprimento finito.

[gugo82]

Anche dal ricoprimento \( \displaystyle {\left\lbrace\right]}\frac{{1}}{{{2}}^{{{n}+{1}}}},{1}-\frac{{1}}{{{2}}^{{{n}+{1}}}}{\left[\right\rbrace}_{{{n}\in\mathbb{N}}} \) non è possibile estrarre ricoprimenti finiti...

Inoltre, da tenere sempre presente è il seguente risultato: "In \( \displaystyle \mathbb{R} \) (o, in generale, in un qualsiasi spazio euclideo finito dimensionale) sono compatti tutti e soli gli insiemi chiusi e limitati".

Se però prendi spazi a dimensione infinita (ad esempio \( \displaystyle {{l}}^{{2}} \), che è uno spazio di Hilbert avente dimensiona infinita) la caratterizzazione sopra esposta non vale più: infatti l'insieme \( \displaystyle {S}\:={\left\lbrace{x}={\left({x}_{{n}}\right)}\in{{l}}^{{2}}:{\left|{\left|{x}\right|}\right|}_{{2}}=\sqrt{{{\sum_{{{n}={1}}}^{{+\infty}}}{{\left|{x}_{{n}}\right|}}^{{2}}}}={1}\right\rbrace} \) è chiuso e limitato (nella topologia indotta dalla norma \( \displaystyle {\left|{\left|\cdot\right|}\right|}_{{2}} \)) epperò non è compatto.

Circa le condizioni equivalenti alla compattezza in spazi metrici più generali di \( \displaystyle \mathbb{R} \) (insomma, in quasi tutti gli spazi di cui si tratta in Analisi Funzionale), c'è un noto teorema di Hausdorff.