\( \displaystyle {\left({2},{x}\right)} \) non è principale in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{x}\right]} \)

[Gatto89]

Hola... posto un esercizio dell'esonero di stamattina

7) Dimostrare che \( \displaystyle {\left({2},{x}\right)} \) non è principale in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{x}\right]} \).

Io l'ho svolto così, volevo sapere un metodo più "diretto" che sicuramente c'era:

Dal terzo teorema di omomorfismo, \( \displaystyle \frac{{\mathbb{Z}{\left[{x}\right]}}}{{\matrix{{2}&{x}}}}\stackrel{\sim}{=}\frac{{\frac{{\mathbb{Z}{\left[{x}\right]}}}{{{2}\mathbb{Z}{\left[{x}\right]}}}}}{{\frac{{\matrix{{2}&{x}}}}{{{2}\mathbb{Z}{\left[{x}\right]}}}}}=\frac{{\mathbb{Z}_{{2}}{\left[{x}\right]}}}{{{\overline{{x}}}}} \) che è un campo, quindi \( \displaystyle \frac{{\mathbb{Z}{\left[{x}\right]}}}{{\matrix{{2}&{x}}}} \) è un campo; segue che \( \displaystyle {\left({2},{x}\right)} \) è massimale e quindi non è principale.

E un'altra cosa ancora... per dimostrare questo lemma (ogni ideale principale \( \displaystyle {\left({f{{\left({x}\right)}}}\right)} \) di \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{x}\right]} \) non è massimale) mi basta dire (escludendo il caso particolare che il polinomio sia di grado \( \displaystyle {0} \) che si fa a parte) che preso \( \displaystyle {\left({p},{f{{\left({x}\right)}}}\right)} \) tale che \( \displaystyle {p} \) non divide il termine noto di \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \), allora \( \displaystyle {\left({f{{\left({x}\right)}}}\right)}\subset{\left({p},{f{{\left({x}\right)}}}\right)}\subset\mathbb{Z}{\left[{x}\right]} \)?

[misanino]

Ma cosa intendi tu per (2,x) ?
E poi perchè se devi dimostrare che non è massimale arrivi invece a dire che lo è???

[Gatto89]

Si scusa correggo il testo... volevo scrivere "non è principale".

[misanino]

Penso che con (2,x) tu intenda l'ideale generato dai 2 polinomi: 2 e x.
Se è così allora:
tale ideale è l'insieme dei polinomi che hanno termine noto pari. Se fosse generato da un solo elemento, allora tale elemento dovrebbe avere grado 0 (cioè essere costante) e dovrebbe essere pari, poichè l'ideale contiene 2.
Ma allora non potrebbe contenere x poichè \( \displaystyle {x}={1}\cdot{x} \) e 1 non è pari

Spero che la risposta ti soddisfi.
Se hai bisogno di altri chiarimenti dimmi pure.
Ciao

[Gatto89]

Merci ... no il lemma che citato mi ci sono chiuso poco fa e dovrei averlo dimostrato giusto, già che ci sono lo posto

Lemma: ogni ideale massimale di \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{x}\right]} \) non è principale.

Dimostrazione:

Supponiamo M, ideale massimale di \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{x}\right]} \), sia della forma M = \( \displaystyle {\left({f{{\left({x}\right)}}}\right)} \).

1) Se \( \displaystyle \sigma{f{{\left({x}\right)}}}={0} \), \( \displaystyle {f{\in}}\mathbb{Z} \); sicuramente \( \displaystyle {f} \) non è invertibile altrimenti il suo ideale generato coinciderebbe con \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{x}\right]} \). Consideriamo allora \( \displaystyle {\left({f{{\left({x}\right)}}},{x}\right)} \): quest'ideale contiene propriamente \( \displaystyle {\left({f{{\left({x}\right)}}}\right)} \) perchè \( \displaystyle {x}\notin{\left({f{{\left({x}\right)}}}\right)} \) ed è contenuto propriamente in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{x}\right]} \) perchè \( \displaystyle {1}\notin{\left({f{{\left({x}\right)}}},{x}\right)} \), quindi \( \displaystyle {\left({f{{\left({x}\right)}}}\right)} \) non è massimale.

2) Se \( \displaystyle \sigma{f{{\left({x}\right)}}}\geq{1} \), sia \( \displaystyle {p} \) primo tale che \( \displaystyle {p} \) non divide alcun coefficente di \( \displaystyle {f} \); sicuramente \( \displaystyle {\left({f{{\left({x}\right)}}}\right)}\subset{\left({p},{f{{\left({x}\right)}}}\right)} \) perchè per motivi di grado \( \displaystyle {p}\notin{\left({f{{\left({x}\right)}}}\right)} \); rimane quindi da mostrare che \( \displaystyle {\left({p},{f{{\left({x}\right)}}}\right)}\ne\mathbb{Z}{\left[{x}\right]} \).
Per assurdo valga l'uguaglianza, allora \( \displaystyle {1}={p}{g{{\left({x}\right)}}}+{f{{\left({x}\right)}}}{h}{\left({x}\right)} \); è un uguaglianza in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{x}\right]} \) e quindi deve valere anche in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{p}}{\left[{x}\right]} \), da cui segue che \( \displaystyle {1}={f{{\left({x}\right)}}}{h}{\left({x}\right)} \) \( \displaystyle {\left(\text{mod}{p}\right)} \).
Siano \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={a}_{{0}}+\ldots+{a}_{{k}}{{x}}^{{k}} \) e \( \displaystyle {h}{\left({x}\right)}={b}_{{0}}+\ldots+{b}_{{m}}{{x}}^{{m}} \), \( \displaystyle {k}+{m}={n} \). Poichè \( \displaystyle \sigma{\left({f{{\left({x}\right)}}}{h}{\left({x}\right)}\right)}={0} \), \( \displaystyle {a}_{{k}}{b}_{{m}}{{x}}^{{n}}={0}_{{p}}\rightarrow{b}_{{m}}={0}_{{p}} \) per l'ipotesi iniziale su \( \displaystyle {p} \). Similmente, \( \displaystyle {a}_{{k}}{b}_{{{m}-{1}}}+{a}_{{{k}-{1}}}{b}_{{m}}={0}_{{p}}\rightarrow{b}_{{{m}-{1}}}={0}_{{p}} \) e, iterando, si arriva che \( \displaystyle {a}_{{0}}{b}_{{1}}+{a}_{{1}}{b}_{{0}}={a}_{{1}}{b}_{{0}}={0}_{{p}}\rightarrow{b}_{{0}}={0} \), ma quindi \( \displaystyle {a}_{{0}}{b}_{{0}}={0}\ne{1} \), assurdo.

Se ci sono errori e/o dimostrazioni più brevi... beh sono sempre graditissime le segnalazioni