3 Limiti di successioni, perdonatemi

[Sagittarioromano]

Salve a tutti, mi potreste aiutare con questi 3 limiti di successione magari affiancandomi passo passo e dicendomi cosa dovrei fare? grazie

Il limite per n--> infinto è il seguente:

1) \(\displaystyle \frac{n!(2n+3cosn)-(n+1)!}{n!(2n-log n)+2^log(n!)} \) entrambi i logaritmi sono a base 3

In questo trovo difficoltà principalmente nel fatto che non so come comportarmi con il cos n;

2) \(\displaystyle \frac{2n!+(2n)!}{n^n+3n!} \)

qui mi servirebbe una mano dall'inizio

3)\(\displaystyle \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})n!+3n^{51}+5^{n+1}}{(n-1)!(4n+n^{\frac{1}{3}}+sin(n^5+3))^{\frac{3}{2}}} \)

in questo dovrei saperlo fare ma di nuovo non so come comportarmi con \(\displaystyle sin(n^5+3) \)

Spero possiate dedicarmi un po' di tempo domani mattina..visto che è per colpa di questi esercizi che ho fatto quest'ora grazie in anticipo

[giammaria]

Spero che tu abbia studiato che nella somma fra infiniti di ordine diverso si possono trascurare quelli di ordine inferiore; su questo si basano le mie soluzioni.

1) Comincia a dividere numeratore e denominatore per \( \displaystyle {n}! \). Poi: il coseno non dà nessun fastidio perchè oscilla sempre fra \( \displaystyle -{1} \) e \( \displaystyle {1} \); \( \displaystyle \frac{{{\log{{n}}}!}}{{{n}!}} \) tende a zero perchè l'infinito del logaritmo è di ordine inferiore a quello del suo argomento.

2) Mi sembra il più difficile. A numeratore l'infinito di ordine maggiore è vistosamente \( \displaystyle {\left({2}{n}\right)}! \); a denominatore c'è qualche dubbio ma si può dire che è \( \displaystyle {{n}}^{{n}} \): infatti \( \displaystyle \frac{{{{n}}^{{n}}}}{{{n}!}}=\frac{{n}}{{1}}\cdot\frac{{n}}{{2}}\cdot\ldots\cdot\frac{{n}}{{n}} \) tende ad infinito perchè almeno il suo primo fattore lo fa e tutti gli altri sono maggiori o uguali ad 1. Ci resta quindi solo \( \displaystyle \frac{{{\left({2}{n}\right)}!}}{{{{n}}^{{n}}}} \) e credo che tenda ad infinito perchè il numeratore ha più fattori del denominatore ma bisognerebbe pensarci meglio.

3) Rispetto al fattoriale si possono trascurare le potenze con esponente fisso e il seno (come per il coseno del primo esercizio); trascuro anche le potenze con esponente minore e mi resta
\( \displaystyle \frac{{{\left(\sqrt{{{n}+{1}}}-\sqrt{{n}}\right)}{n}!}}{{{\left({n}-{1}\right)}!\cdot{4}{n}}} \)
Penso proprio che saprai continuare da solo.

[Sagittarioromano]

Si grazie ora provo a continuare da solo solo una domanda di precisazione. Il seno come hai detto te devo intenderlo che oscillando tra 1 e -1, se lo divido per un qualcosa che va ad infinito diventa automaticamente zero? giusto? E un'altra cosa, la tendenza a zera del logaritmo perchè l'infinito del logaritmo è di ordine inferiore a quello del suo argomento è una regola?

Grazie mille comunque..ora lo rivedo, mi segno le cose e ti farò sapere se sono riuscito ad arrivare alla fine

[giammaria]

Sì a tutte le domande; per quanto riguarda il logaritmo non saprei però bene come dimostrarlo prima di studiare l'analisi matematica.
Ho trovato anche la risposta al dubbio che era rimasto alla fine del secondo limite e per questo raggruppo due a due i fattori di \( \displaystyle {\left({2}{n}\right)}! \): i due centrali, quelli che ne differiscono di 1, eccetera: ottengo

\( \displaystyle \frac{{{\left({2}{n}\right)}!}}{{{{n}}^{{n}}}}=\frac{{{n}{\left({n}+{1}\right)}}}{{n}}\cdot\frac{{{\left({n}-{1}\right)}{\left({n}+{2}\right)}}}{{n}}\cdot\ldots\cdot\frac{{{\left({n}-{k}\right)}{\left({n}+{k}+{1}\right)}}}{{n}}\cdot\ldots\cdot\frac{{{1}\cdot{2}{n}}}{{n}} \)

La generica frazione è

\( \displaystyle \frac{{{\left({n}-{k}\right)}{\left({n}+{k}+{1}\right)}}}{{n}}=\frac{{{{n}}^{{2}}-{{k}}^{{2}}+{n}-{k}}}{{n}}=\frac{{{n}{\left({n}+{1}\right)}-{k}{\left({k}+{1}\right)}}}{{n}} \)

ed è evidente che diminuisce al crescere di \( \displaystyle {k} \); quindi ogni frazione è maggiore delle successive ed in particolare dell'ultima, che vale 2. Ne consegue che se ci sono almeno due frazioni (cioè se \( \displaystyle {n}\gt{1} \)) si ha \( \displaystyle \frac{{{\left({2}{n}\right)}!}}{{{{n}}^{{n}}}}\gt{{2}}^{{n}} \)
e quindi il tutto rende veramente ad infinito.
Forse ci sono dimostrazioni migliori; chi le conosce o le trova mi farà cosa grata facendomelo sapere.
Dove hai pescato degli esercizi così difficili?

[Sagittarioromano]

Scusa se rispondo ora ma ho avuto un esame ho capito tutto della spiegazione e ti ringrazio moltissimo..ora me la scrivo, ma solo una cosa: ragionandoci ho capito perchè la formula è \(\displaystyle >2^n \), ma per quale motivo da questo deduco che tende ad infinito? scusa l'ignoranza

P.S. li ha dati il professore di un'altra classe ai loro allievi, ho preso quelli visto che il nostro non ha fatto molti esercizi.

[giammaria]

Per \( \displaystyle {n} \) tendente ad infinito anche \( \displaystyle {{2}}^{{n}} \) lo fa; a maggior ragione lo fa chi gli è più grande. Fra l'altro, ho trovato anche un'altra dimostrazione, più semplice:
\( \displaystyle \frac{{{\left({2}{n}\right)}!}}{{{{n}}^{{n}}}}={n}!\cdot\frac{{{n}+{1}}}{{n}}\cdot\frac{{{n}+{2}}}{{n}}\cdot\ldots\cdot\frac{{{2}{n}}}{{n}}\gt{n}! \)
dove la diseguaglianza è motivata dal fatto che tutte le frazioni sono maggiori di 1. \( \displaystyle {n}! \) tende ad infinito, quindi lo fa anche chi gli è maggiore.

[Sagittarioromano]

grazie mille sei stato molto gentile

[giammaria]

Prego. Aggiungo un consiglio: intervista bene gli allievi dell'altra classe. Mi sembra improbabile che siano stati dati esercizi che richiedono i ragionamenti da me fatti; è molto più verosimile che sull'ordine degli infiniti il loro professore abbia dato regole molto più dettagliate di quelle a me note e ti sarebbe senz'altro utile conoscerle.