4 problemi

[xXStephXx]

1) Sia \(\displaystyle P(x) \) il polinomio che si ottiene da \(\displaystyle (1 + x)^{19}+x(1+x)^{18} +x^2(1+x)^{17} +...+ x^{19} \) sviluppando i prodotti e sommando i termini simili.
Determinare il coefficiente del suo termine di grado \(\displaystyle 16 \)

2) Di una funzione \(\displaystyle F : Z → Z \), cioè di una funzione che ad ogni numero intero associa un numero intero, si sa che \(\displaystyle F(F(x)) = x + 2 \) e che
\(\displaystyle F(25) = 100 \). Quanto vale\(\displaystyle F(2008) \)?


3)
Determinare quante sono le cifre del prodotto di tutti i divisori di \(\displaystyle 1000000 \) (compresi \(\displaystyle 1 \) e \(\displaystyle 1000000 \))


4) Sia \(\displaystyle f(x) = 1 − \frac{1}{2x} \)
Definiamo \(\displaystyle f^2(x) = f(f(x)) \), \(\displaystyle f^3(x) = f(f(f(x))) \) , ecc. Quanto vale \(\displaystyle f^{2008}(2008) \)?


Buona fortuna

[giannirecanati]

1)Allora, cominciamo a calcolarci qualche termine. Sfrutto il binomio di Newton per cui \(\displaystyle (x+1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k \).
Quindi il termine \(\displaystyle x^16 \) in \(\displaystyle (1 + x)^{19} \) sarà \(\displaystyle \binom{19}{16}x^16 \).
Nel secondo addendo \(\displaystyle x(1+x)^{18} \) il termine \(\displaystyle x^{16} \) avrà come coefficiente \(\displaystyle \binom{18}{15}x^{16} \). Notando la ricorsione, ovvero il coefficiente del secondo addendo è \(\displaystyle \binom{19-1}{16-1} \) e siccome gli ultimi tre termini non producono alcun coefficiente, possiamo scrivere il coefficiente finale come \(\displaystyle \sum_{k=0}^{16}\binom{3+k}{k}=4845 \).
Corretto?

[xXStephXx]

Corretto, ma per fare la sommatoria hai sfruttato la proprietà, riconducendolo a \(\displaystyle \binom{20}{4} \), o hai calcolato a mano?

[giannirecanati]

Per risolvere la somma ho sfruttato il fatto che \(\displaystyle \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} \), da cui \(\displaystyle \binom{3+k}{k}=\binom{3+k}{3}\), ma è un fatto noto che \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\binom{m+k}{m}=\binom{m+n+1}{m+1} \), poiché \(\displaystyle n=16 \) ed \(\displaystyle m=3 \), si ha \(\displaystyle \binom{20}{4}=4845 \).

[FreddyKruger]

Provo con il secondo:
-sappiamo che \( \displaystyle {f{{\left({25}\right)}}}={100} \) e che \( \displaystyle {f{{\left({f{{\left({25}\right)}}}\right)}}}={27} \) da cui \( \displaystyle {f{{\left({100}\right)}}}={27} \).
-sappiamo che \( \displaystyle {f{{\left({f{{\left({100}\right)}}}\right)}}}={102} \) da cui \( \displaystyle {f{{\left({27}\right)}}}={102} \).
Continuando con questo ragionamento si vede subito che ogni \( \displaystyle {f{{\left({25}+{2}{x}\right)}}}={100}+{2}{x} \),e invece ogni \( \displaystyle {f{{\left({2}{x}\right)}}}={2}{x}-{73} \) da cui \( \displaystyle {f{{\left({2008}\right)}}}={1935} \).

[xXStephXx]

Esatto! Ora gli altri due

[albertobosia]

il 4° è carino

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

\(\displaystyle f(f(f(f(x))))=1-\frac1{2\left(1-\frac1{2\left(1-\frac1{2\left(1-\frac1{2x}\right)}\right)}\right)}=x\)

[FreddyKruger]

E' facile verificare che il prodotto di tutti i divisori è uguale a \( \displaystyle {{2}}^{{{147}}}\cdot{{5}}^{{{147}}} \),da cui si deduce che il numero cercato ha 148 cifre

[xXStephXx]

Ok, esatto xDxD Quindi ora concludi il 4.

[giannirecanati]

Con quanto trovato da Alberto Bosia è semplicissimo. Quando l'esponente della funzione è multiplo di quattro si ha che \(\displaystyle f^{4k}(x)=x \), siccome \(\displaystyle 2008 \equiv 8 \equiv 0 \pmod{4} \) si ha che \(\displaystyle f^{2008}(2008)=2008 \).