$5^x -3^y =2$

[digi88]

Abuso della vostra pazienza....C'è questa diofantea che mi fa diventare matto: $5^x -3^y =2$, si cercano solo le coppie $(x;y)$ intere e positive...

Siccome c'è la soluzione banale $(1;1)$, non si trova nessun assurdo con le congruenze "standard" ($3$,$4$,$8$..).. Di solito con queste euqazioni così vado a provare le congruenze con le potenze delle basi cosi da escludere il caso banale...ma questa volta (salvo errori di calcolo) le congruenze con modulo 9, 25 e 27 non danno assurdi ma solo limitazioni...provare 81 e 125 mi sembra un tantino brutale....o magari ho semplicemente sbagliato tutto...

voi per caso avete qualche modo più elegante, breve o semplicemente qualche idea per risolvere questa diofantea???

Vi ringrazio tantissimo....

[TomSawyer]

Devi verificare anche che le limitazioni imposte dai vari moduli siano coerenti tra di loro. Di solito, quando non funziona un modulo solo, è la via più semplice.

[TomSawyer]

Ti basta provare che $x,y$ devono essere dispari (modulo 3,5) e poi fattorizzare $5^x-3^y=(5-3)(5^{x-1}+3*5^{x-2}+...+3^{y-1})$, con la parentesi a destra maggiore di 1, se $x$ o $y$ maggiori di 1.

[fields]

$5^x-3^y=(5-3)(5^{x-1}+3*5^{x-2}+...+3^{y-1})$

Non mi e' chiara la tua identita', Tom. Come verrebbe nel caso $5^5-3^3$, ad esempio?

[ficus2002]

io propongo di scrivere l'equazione nella forma $5^x-5=3^y-3$ e di usare Eulero-Fermat a destra e sinistra. Mi piacerebbe poterci provare io, ma sono impegnato

[TomSawyer]

Stavo pensando a quando $x=y$, sbagliando, infatti.

La diofantea si puo' risolvere cosi', comunque:
dopo aver visto che $y$ deve essere dispari, supponiamo $y\ge3$. Da $5^x\equiv 2(mod9)$ abbiamo $x=6k+5$. Si ha che $5^{6k+5}\equiv3(mod7)$ e, sostituendo, $3-3^y\equiv2(mod7) \implies 3^y\equiv1(mod7)$, cioe' $y=6k$, contraddizione.

[digi88]

bhe...grazie mille...veramente una bella soluzione!!!!

[Steven]

Scusa Tom, due cose, sempre se possono spiegarsi brevemente, altrimenti fa niente

Come deduci che da
$5^x-=2(mod9)$ allora $x=6k+5$ ?

Poi, come deduci che deve anche essere
$5^(6k+5)-=3(mod7)$ ?

Garzie mille, ciao.

[TomSawyer]

1) $5^5\equiv 2 (mod9)$, quindi $5^{6k}*5^5 \equiv 1*2(mod9)$, dato che $\varphi(9)=6$.

2) Analogo, con $5^5 \equiv 3 (mod7)$.

[Steven]

Dimmi una cosa: ti sei servito di Eulero-Fermat? E' il prossimo teorema che devo farmi.
Nel frattempo ti ringrazio molto, ciao.