A metà strada tra la Teoria dei gruppi e l'Analisi

[Paolo90]

Ciao Martino,

dopo una domenica di meditazione sull'esercizio e sui gruppi in generale, mi sento quasi di dirti che ho capito. Certo, continuo a dirmi che non ci sarei mai arrivato da solo, ma credo davvero di aver capito come funzionano le cose in questo esercizietto.

Se non ti è di troppo disturbo, non è che per cortesia potresti scrivere il testo di qualche esercizio simile cosicchè io possa provare a svolgerlo? Perchè sul mio libro non ci sono troppi esempi (uno è praticamente quello che ho scritto io nel post sopra, cambiano solo i numeri) e in giro per il web non riesco a trovare esercizi del genere con soluzioni (ovviamente se non hai voglia o tempo di scrivere l'esercizio fa nulla, non ti preoccupare; va bene anche solo un link a un sito che ti viene in mente possa fare al caso mio).

Scusa per il disturbo e grazie ancora per il tuo aiuto.
GRAZIE.

[Martino]

Prego!
Ti scrivo quelli che mi vengono in mente.

Dimostrare che l'insieme \( \displaystyle {A}_{{n}} \) delle permutazioni pari di \( \displaystyle {S}_{{n}} \) è un sottogruppo di \( \displaystyle {S}_{{n}} \) di indice 2. Dimostrare che è normale (volendo, dimostrare che quando un sottogruppo ha indice \( \displaystyle {2} \) è automaticamente normale). A cosa è isomorfo il quoziente?

Sia \( \displaystyle {G} \) il gruppo delle matrici \( \displaystyle {n}\times{n} \) invertibili sul campo \( \displaystyle {C} \). Sia \( \displaystyle {H} \) il sottoinsieme di \( \displaystyle {G} \) formato dalle matrici di determinante \( \displaystyle {1} \). Dimostrare che \( \displaystyle {H} \) è un sottogruppo normale di \( \displaystyle {G} \). A cosa è isomorfo \( \displaystyle {G}\//{H} \)?

Sia \( \displaystyle {G} \) l'insieme delle funzioni \( \displaystyle {f{:}}{\left[{0},{1}\right]}\to\mathbb{R} \). Dimostrare che \( \displaystyle {G} \) è un gruppo additivo abeliano. Sia \( \displaystyle {H}={\left\lbrace{g{\in}}{G}\ {\mid}\ {g{{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}}}\in\mathbb{Q}\right\rbrace} \). Dimostrare che \( \displaystyle {H} \) è un sottogruppo normale di \( \displaystyle {G} \). A cosa è isomorfo \( \displaystyle {G}\//{H} \)? E se sceglievamo un qualsiasi altro sottogruppo additivo \( \displaystyle {K} \) di \( \displaystyle \mathbb{R} \) e definivamo \( \displaystyle {H}={\left\lbrace{g{\in}}{G}\ {\mid}\ {g{{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}}}\in{K}\right\rbrace} \) a cosa era isomorfo \( \displaystyle {G}\//{H} \)?

Per \( \displaystyle {a},{b}\in\mathbb{R} \) definiamo \( \displaystyle {f}_{{{a}{b}}}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( \displaystyle {f}_{{{a}{b}}}{\left({x}\right)}={a}{x}+{b} \). Sia \( \displaystyle {G}={\left\lbrace{f}_{{{a}{b}}}\ {\mid}\ {a},{b}\in\mathbb{R},\ {a}\ne{0}\right\rbrace} \). Dimostrare che \( \displaystyle {G} \) è un gruppo rispetto alla composizione di applicazioni. \( \displaystyle {G} \) è abeliano? Provare che \( \displaystyle {N}={\left\lbrace{f}_{{{a}{b}}}\in{G}\ {\mid}\ {a}={1}\right\rbrace} \) è un sottogruppo normale di \( \displaystyle {G} \) e determinare \( \displaystyle {G}\//{N} \).

Sia \( \displaystyle {G} \) l'insieme dei polinomi su \( \displaystyle \mathbb{R} \) di grado \( \displaystyle \le{4} \). Sia \( \displaystyle {H} \) il sottoinsieme di \( \displaystyle {G} \) che consiste dei polinomi costanti. Dimostrare che \( \displaystyle {G} \) è un gruppo abeliano con \( \displaystyle + \) e che \( \displaystyle {H} \) è un suo sottogruppo. A cosa è isomorfo il quoziente?

Sia \( \displaystyle {H} \) il sottogruppo di \( \displaystyle {\left(\mathbb{C}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace},\cdot\right)} \) che consiste dei numeri complessi di modulo \( \displaystyle {1} \). \( \displaystyle {H} \) è un sottogruppo normale di \( \displaystyle {\left(\mathbb{C}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace},\cdot\right)} \). A cosa è isomorfo il quoziente?

[gugo82]

In pratica, ho capito che dato un omomorfismo \( \displaystyle {f} \) di gruppi \( \displaystyle {G} \) e \( \displaystyle {G}' \), esiste un isomorfismo tra \( \displaystyle \frac{{G}}{\text{Ker f}} \) e \( \displaystyle {I}{m}{f} \). Giusto?

Esatto, e se lo chiami \( \displaystyle {\overline{{{f}}}} \) è definito da \( \displaystyle {\overline{{{f}}}}{\left({g{+}}{k}{e}{r}{\left({f}\right)}\right)}={f{{\left({g}\right)}}} \). La dimostrazione del teorema di isomorfismo prevede la verifica del fatto che questa posizione definisce "bene" (cioè rappresentanti distinte di una stessa classe hanno la stessa immagine) un isomorfismo di gruppi.

Quindi nel tuo caso, se definisci \( \displaystyle \phi \) come la funzione \( \displaystyle {G}\to\mathbb{R} \) che manda \( \displaystyle {f} \) in \( \displaystyle {f{{\left(\frac{{1}}{{3}}\right)}}} \) puoi osservare che si tratta di un omomorfismo suriettivo di gruppi, e quindi \( \displaystyle {G}\//{k}{e}{r}{\left(\phi\right)}\stackrel{\sim}{=}\mathbb{R} \). Ora, siccome \( \displaystyle {k}{e}{r}{\left(\phi\right)}={N} \), hai risolto l'esercizio.

Io, nella mia "somma ignoranza algebrica", quando mi trovo davanti ad sottogruppo normale, innanzitutto cerco di capire quale relazione d'equivalenza induce nel gruppo e poi mi chiedo: "Cosa fa questa relazione?".
Il più delle volte questa domanda fornisce risposta alla richiesta di analizzare il quoziente rispetto al sottogruppo.

Ad esempio, il sottogruppo \( \displaystyle {N} \) induce in \( \displaystyle {G} \) la relazione d'equivalenza \( \displaystyle {f{\stackrel{\sim}{=}}}{g{\Leftrightarrow}}{f{-}}{g{\in}}{N}\Leftrightarrow{f{{\left(\frac{{1}}{{3}}\right)}}}={g{{\left(\frac{{1}}{{3}}\right)}}} \).
"Cosa fa questa relazione?" Beh, identifica tutte le funzioni che in \( \displaystyle \frac{{1}}{{3}} \) prendono lo stesso valore; ad esempio \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}\:={1},{g{{\left({x}\right)}}}={9}{{x}}^{{2}},{h}{\left({x}\right)}\:={{e}}^{{{x}-\frac{{1}}{{3}}}},{k}{\left({x}\right)}\:={\cosh{{\left({{x}}^{{2}}-\frac{{1}}{{9}}\right)}}} \) sono tutte \( \displaystyle \stackrel{\sim}{=} \)-equivalenti.
Graficamente la puoi vedere così: prendi nel piano \( \displaystyle {O}{x}{y} \) la retta \( \displaystyle {r} \) d'equazione \( \displaystyle {x}=\frac{{1}}{{3}} \); comunque fissi un punto \( \displaystyle {\left(\frac{{1}}{{3}},{y}_{{0}}\right)} \) su tale retta, la tua equivalenza identifica tutte le funzioni i cui grafici passano per il punto \( \displaystyle {\left(\frac{{1}}{{3}},{y}_{{0}}\right)} \).

Perciò è piuttosto naturale dire che il quoziente \( \displaystyle \frac{{G}}{{N}}=\frac{{G}}{{\stackrel{\sim}{=}}} \) è rappresentato graficamente dalla retta \( \displaystyle {r} \) e che esso è dunque isomorfo ad \( \displaystyle \mathbb{R} \).

Prova a fare lo stesso per l'ultimo esercizio postato da Martino (quello sui numeri complessi di norma unitaria).

[Paolo90]

Mamma mia, Martino, che lista! Wow, grazie mille davvero.

Bene tralascio per un attimo quelli con le matrici (le abbiamo viste un po' rapidamente a lezione, perchè è argomento di geometria, II semestre). Ad ogni modo, ho cominciato con questo qua, che ho risolto questa mattina in aula studio (alle 8.15 dopo un caffè per svegliarsi ).

Allora:

Per \( \displaystyle {a},{b}\in\mathbb{R} \) definiamo \( \displaystyle {f}_{{{a}{b}}}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( \displaystyle {f}_{{{a}{b}}}{\left({x}\right)}={a}{x}+{b} \). Sia \( \displaystyle {G}={\left\lbrace{f}_{{{a}{b}}}\ {\mid}\ {a},{b}\in\mathbb{R},\ {a}\ne{0}\right\rbrace} \). Dimostrare che \( \displaystyle {G} \) è un gruppo rispetto alla composizione di applicazioni. \( \displaystyle {G} \) è abeliano? Provare che \( \displaystyle {N}={\left\lbrace{f}_{{{a}{b}}}\in{G}\ {\mid}\ {a}={1}\right\rbrace} \) è un sottogruppo normale di \( \displaystyle {G} \) e determinare \( \displaystyle {G}\//{N} \).

Risoluzione.
Parte prima.

\( \displaystyle {\left({G},\cdot\right)} \) (dove con \( \displaystyle \cdot \) si intende la composizione di applicazioni: come si fa il classico pallino?) è un gruppo. Infatti, si può verificare facilmente che la funzione \( \displaystyle {f}_{{{a}{b}}}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( \displaystyle {f}_{{{a}{b}}}{\left({x}\right)}={a}{x}+{b} \) è una biiezione e si sa che le biiezioni formano un un gruppo rispetto alla composizione (così nasce \( \displaystyle {S}_{{n}} \), ad esempio). Se proprio volessimo fare i fini, diciamo che:
1. la composizione di due biiezioni è ancora una biiezione;
2. il prodotto è associativo;
3. esiste \( \displaystyle {f}_{{{a}{b}}}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( \displaystyle {f}_{{{a}{b}}}{\left({x}\right)}={i}{d}_{{\mathbb{R}}}={x} \) che fa da elemento neutro a destra e sinistra;
4. per ogni biiezione \( \displaystyle {f}_{{{a}{b}}}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( \displaystyle {f}_{{{a}{b}}}{\left({x}\right)}={a}{x}+{b} \) esiste (in \( \displaystyle {G} \): qui l'ipotesi \( \displaystyle {a}\ne{0} \) è essenziale) l'inversa (che è ancora una biiezione) data da \( \displaystyle {{f}}^{{-{1}}}_{\left\lbrace{a}{b}\right\rbrace}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) data da \( \displaystyle {{f}}^{{-{1}}}_{\left\lbrace{a}{b}\right\rbrace}{\left({x}\right)}={\left(\frac{{1}}{{a}}\right)}{x}-\frac{{b}}{{a}} \).

Il gruppo NON è abeliano perchè è risaputo che la composizione di funzioni non è commutativa.

Parte seconda.
Lavoriamo ora su \( \displaystyle {N} \). Proviamo che è normale facendo vedere che è stabile per il coniugio. \( \displaystyle \forall{f{\in}}{G} \), \( \displaystyle \forall{h}\in{N} \) si deve avere \( \displaystyle {{f}}^{{-{1}}}\cdot{h}\cdot{f{\in}}{N} \). E qui sono conti: trovo infatti che \( \displaystyle {{f}}^{{-{{1}}}}{\left({h}{\left({f{{\left({x}\right)}}}\right)}\right)}={x}+\frac{{c}}{{a}} \) che è proprio un elemento di \( \displaystyle {N} \).

Quindi, \( \displaystyle {N} \) è normale in \( \displaystyle {G} \).

Parte terza.
Adesso, il quoziente. Questa è sempre la parte più tosta, ma ci provo, anche se non sono convintissimo: per capire come è fatto \( \displaystyle {G}\//{N} \) ho cercato di studiare i laterali destri e sinistri (che tanto coincidono, essendo \( \displaystyle {N} \) normale!), che si ottengono componendo una generica applicazione di \( \displaystyle {N} \) con una di \( \displaystyle {G} \).
Ad esempio, per i sinistri:
\( \displaystyle {g{{N}}}={\left\lbrace{g{\cdot}}{n}{\mid}{g{\in}}{G},{n}\in{N}\right\rbrace} \): mi viene fuori una applicazione del tipo \( \displaystyle {\left({g{\cdot}}{n}\right)}{\left({x}\right)}={a}{x}+{c}{\left({a}+{b}\right)} \).

Mi viene da dire, dunque, che geometricamente il quoziente è composto da classi composte da rette parallele, di dato coefficiente angolare (\( \displaystyle {a} \)). Ci siamo? Questa mia ipotesi ha trovato conferme quando ho calcolato i laterali dx (inutile, lo so, ma era per avere una conferma): con le notazioni di sopra, \( \displaystyle {\left({n}\cdot{g}\right)}{\left({x}\right)}={a}{x}+{\left({c}+{b}\right)} \), ancora rette parallele.
Da notare che ciò è coerente, perchè i laterali dipendono dall'elemento di \( \displaystyle {G} \) (che dipende da \( \displaystyle {a} \)). Infine, è opportuno ricordare che tra le rette parallele del quoziente si escludono quelle parallele all'asse \( \displaystyle {x} \) (\( \displaystyle {a}\ne{0} \) per ipotesi).

Che ne dite? Spero in bene...

P.S. GRAZIE.

[Paolo90]

@ Gugo:

eh, no, dai. Adesso basta . Mi aiuti sempre in Analisi, non puoi essere anche bravo in Algebra . Perchè tutta l'intelligenza a te e a me nemmeno un briciolino?

Comunque ho letto il tuo suggerimento, proverò a metterlo in pratica. Il prossimo problema cui mi dedicherò sarà proprio quello dei complessi di norma unitaria, letto e abbozzato stamattina, ma non ancora finito.

GRAZIE mille, ancora a tutti.

[Martino]

Per \( \displaystyle {a},{b}\in\mathbb{R} \) definiamo \( \displaystyle {f}_{{{a}{b}}}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( \displaystyle {f}_{{{a}{b}}}{\left({x}\right)}={a}{x}+{b} \). Sia \( \displaystyle {G}={\left\lbrace{f}_{{{a}{b}}}\ {\mid}\ {a},{b}\in\mathbb{R},\ {a}\ne{0}\right\rbrace} \). Dimostrare che \( \displaystyle {G} \) è un gruppo rispetto alla composizione di applicazioni. \( \displaystyle {G} \) è abeliano? Provare che \( \displaystyle {N}={\left\lbrace{f}_{{{a}{b}}}\in{G}\ {\mid}\ {a}={1}\right\rbrace} \) è un sottogruppo normale di \( \displaystyle {G} \) e determinare \( \displaystyle {G}\//{N} \).

\( \displaystyle {\left({G},\cdot\right)} \) (dove con \( \displaystyle \cdot \) si intende la composizione di applicazioni: come si fa il classico pallino?) è un gruppo. Infatti, si può verificare facilmente che la funzione \( \displaystyle {f}_{{{a}{b}}}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( \displaystyle {f}_{{{a}{b}}}{\left({x}\right)}={a}{x}+{b} \) è una biiezione e si sa che le biiezioni formano un un gruppo rispetto alla composizione (così nasce \( \displaystyle {S}_{{n}} \), ad esempio).

Beh, a rigore dovresti dimostrare che \( \displaystyle {f}_{{{a}{b}}}\circ{f}_{{{c}{d}}}={f}_{{{x}{y}}} \) per opportuni \( \displaystyle {x},{y} \), no? [ah, il pallino si fa con "circ"]

Il gruppo NON è abeliano perchè è risaputo che la composizione di funzioni non è commutativa.

Questo non basta: devi produrre un controesempio. Certo che la composizione non è commutativa, ma lo è in casi particolari, per esempio il gruppo delle funzioni \( \displaystyle \mathbb{R}\to\mathbb{R} \) del tipo \( \displaystyle {x}\to{a}{x} \) con \( \displaystyle {a}\ne{0} \) (moltiplicazione per costante \( \displaystyle \ne{0} \)) con la composizione è abeliano.

Adesso, il quoziente. Questa è sempre la parte più tosta, ma ci provo, anche se non sono convintissimo: per capire come è fatto \( \displaystyle {G}\//{N} \) ho cercato di studiare i laterali destri e sinistri (...)

Capisco che tu sia tentato di seguire questa strada, ma secondo me è molto più semplice cercare un omomorfismo da \( \displaystyle {G} \) a qualche altro gruppo il cui nucleo sia \( \displaystyle {N} \). Per il teorema di isomorfismo, l'immagine di tale omomorfismo sarà isomorfa al tuo quoziente.

E qui mi ricollego a quanto diceva Gugo: secondo me è certamente utile avere l'idea intuitiva di cosa dev'essere il quoziente, ma quando si tratta di fare dimostrazioni il procedimento più convincente e indolore passa dal teorema di isomorfismo.

[Paolo90]

Beh, a rigore dovresti dimostrare che \( \displaystyle {f}_{{{a}{b}}}\circ{f}_{{{c}{d}}}={f}_{{{x}{y}}} \) per opportuni \( \displaystyle {x},{y} \), no? [ah, il pallino si fa con "circ"]

Hai assolutamente ragione, provvedo subito.
\( \displaystyle {f}_{{{a}{b}}}:{a}{x}+{b} \)
\( \displaystyle {f}_{{{c}{d}}}:{c}{x}+{d} \)

\( \displaystyle {f}_{{{a}{b}}}\circ{f}_{{{c}{d}}}:{\left({a}{c}\right)}{x}+{\left({a}{d}+{b}\right)}={f}_{{{x}{y}}} \) con \( \displaystyle {x}={a}{c} \) e \( \displaystyle {y}={a}{d}+{b} \)

Stesso discorso per l'altra, che risulta:
\( \displaystyle {f}_{{{c}{d}}}\circ{f}_{{{a}{b}}}:{\left({a}{c}\right)}{x}+{\left({b}{c}+{d}\right)}={f}_{{{x}{y}'}} \), dove \( \displaystyle {y}'={b}{c}+{d} \)

Ok?

Questo non basta: devi produrre un controesempio. Certo che la composizione non è commutativa, ma lo è in casi particolari, per esempio il gruppo delle funzioni \( \displaystyle \mathbb{R}\to\mathbb{R} \) del tipo \( \displaystyle {x}\to{a}{x} \) (moltiplicazione per costante) con la composizione è abeliano.

Sì, scusa, questo non l'ho scritto perchè non mi sembrava troppo pertinente (mi interessava di più la costruzione del quoziente): in ogni caso il controesempio me lo sono fatto questa mattina, non l'ho solo riportato: \( \displaystyle {f{:}}{2}{x}+{3} \), \( \displaystyle {g{:}}{5}{x}+{1} \). Allora,
\( \displaystyle {g{\circ}}{f{:}}{10}{x}+{16} \), mentre invece \( \displaystyle {f{\circ}}{g{:}}{10}{x}+{5} \).

Capisco che tu sia tentato di seguire questa strada, ma secondo me è molto più semplice cercare un omomorfismo da \( \displaystyle {G} \) a qualche altro gruppo il cui nucleo sia \( \displaystyle {N} \). Per il teorema di isomorfismo, l'immagine di tale omomorfismo sarà isomorfa al tuo quoziente.

E qui mi ricollego a quanto diceva Gugo: secondo me è certamente utile avere l'idea intuitiva di cosa dev'essere il quoziente, ma quando si tratta di fare dimostrazioni il procedimento più convincente e indolore passa dal teorema di isomorfismo.

Allora, vediamo se ho capito. Ci ho pensato un po' e forse ci siamo. Spero solo di non farti perdere altro tempo, perdonami.

Sia \( \displaystyle \Phi:{G}\to\mathbb{R}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace} \) la funzione così definita: \( \displaystyle \Phi{\left({f}_{{{a}{b}}}\right)}={a} \). Si può vedere che tale funzione definisce un omomorfismo di gruppi: in effetti, \( \displaystyle \Phi{\left({f}_{{{a}{b}}}\circ{f}_{{{c}{d}}}\right)}=\Phi{\left({a}{c}{x}+{a}{d}+{b}\right)}={a}{c}=\Phi{\left({f}_{{{a}{b}}}\right)}\Phi{\left({f}_{{{c}{d}}}\right)} \).

Inoltre, il \( \displaystyle \text{Ker }\ \Phi \) è proprio il nostro \( \displaystyle {N} \) (perchè l'elemento neutro di \( \displaystyle \mathbb{R}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace} \) è proprio \( \displaystyle {1} \)): per il primo teorema di isomorfismo, posso concludere che \( \displaystyle {G}\//{N}\stackrel{\sim}{=}\mathbb{R}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace} \).

GRAZIE ancora una volta e perdonami se ho sbagliato.

[Paolo90]

Sia \( \displaystyle {H} \) il sottogruppo di \( \displaystyle {\left(\mathbb{C}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace},\cdot\right)} \) che consiste dei numeri complessi di modulo \( \displaystyle {1} \). \( \displaystyle {H} \) è un sottogruppo normale di \( \displaystyle {\left(\mathbb{C}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace},\cdot\right)} \). A cosa è isomorfo il quoziente?

Forse è simile al precedente e se è giusto ciò che sto per scrivere è perchè ho veramente capito (ti prego fa che sia così ).

Anzitutto, piccola nota: \( \displaystyle {H} \) è un sottogruppo di \( \displaystyle {\left(\mathbb{C}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace},\cdot\right)} \) perchè in \( \displaystyle \mathbb{C} \) vale \( \displaystyle {\left|{z}_{{1}}\right|}{\left|{z}_{{2}}\right|}={\left|{z}_{{1}}{z}_{{2}}\right|} \). Inoltre, se un numero complesso \( \displaystyle {z} \) è tale che \( \displaystyle {\left|{z}\right|}={1} \) allora anche \( \displaystyle {{z}}^{{-{1}}} \) avrà modulo pari a \( \displaystyle {1} \) (questo si dimostra facilmente). Perciò, se \( \displaystyle {z}_{{1}} \) e \( \displaystyle {z}_{{2}} \) sono elementi di \( \displaystyle {H} \) allora anche \( \displaystyle {z}_{{1}}{{z}}^{{-{1}}}_{2}\in{H} \): per il criterio, allora, \( \displaystyle {H} \) è un sottogruppo di \( \displaystyle {\left(\mathbb{C}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace},\cdot\right)} \).

Che \( \displaystyle {H} \) sia normale segue dal fatto che \( \displaystyle {\left(\mathbb{C}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace},\cdot\right)} \) è abeliano.

Ora considero proprio l'operazione di modulo nei complessi: sia dunque \( \displaystyle \Phi:{\left(\mathbb{C}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace},\cdot\right)}\to{\left({\mathbb{R}}^{{\gt{0}}},\cdot\right)} \) definita come \( \displaystyle \Phi{\left({z}\right)}={\left|{z}\right|} \) (o, in altra scrittura equivalente \( \displaystyle \Phi{\left({a}+{i}{b}\right)}=\sqrt{{{{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}}} \)). Per le proprietà viste sopra, \( \displaystyle \Phi \) è un omomorfismo di gruppi. Segue che per il teorema di isomorfismo \( \displaystyle {\left(\mathbb{C}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace},\cdot\right)}\//{\left(\text{Ker }\ \Phi\right)}\stackrel{\sim}{=}{\left({\mathbb{R}}^{{\gt{0}}},\cdot\right)} \). Ma \( \displaystyle \text{ker }\ \Phi \) è proprio \( \displaystyle {H} \). Segue \( \displaystyle {\left(\mathbb{C}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace},\cdot\right)}\//{H}\stackrel{\sim}{=}{\left({\mathbb{R}}^{{\gt{0}}},\cdot\right)} \).

GRAZIE.

[gugo82]

Occhio: \( \displaystyle \Phi \) è positiva...

Per la "rappresentazione" che mi dici?
(@Martino: infatti non ho detto che si può fare a meno del Teorema di Isomorfismo; però farsi un'immagine mentale aiuta.)

[Martino]

@Paolo: si, l'unica osservazione che ho da farti e' la stessa che ti ha fatto Gugo.