A metà strada tra la Teoria dei gruppi e l'Analisi

[Paolo90]

Chiedo scusa in anticipo se la mia domanda può sembrare "banale". Si tratta in verità di un esercizio un po' diverso dai soliti, a metà strada tra l'analisi e l'algebra (ma indubbiamente più algebrico che analitico).

Esercizio. Si consideri $G$, il gruppo additivo costituito da tutte le funzioni continue su $[0,1]$ a valori in $RR$.
Si consideri il sottoinsieme

$N={f in G | f(1/3)=0}$.

Si provi che $N$ è un sottogruppo normale in $G$.

Per prima cosa, verifico che è un sottogruppo: dovrei far vedere che, se $f(x)$ e $g(x)$ sono due funzioni che stanno in $N$, allora anche $(f-g)(x)$ sta in $N$, cioè $(f-g)(1/3)=0$. E questo si ottiene abbastanza facilmente: $0=f(1/3)-g(1/3)=(f-g)(1/3)$.

Adesso devo far vedere la normalità. Il problema è che non so come si faccia. O meglio, a lezione abbiamo sempre lavorato con gruppi finiti ($S_3$ e company) e lì era semplice trovare i laterali e poi vedere se erano uguali. Qua come si fa? Per vedere se è normale devo sempre passare dai laterali, vero? Ma come li trovo?

Grazie mille per il vostro aiuto e scusate l'ignoranza.

[dissonance]

(Stai leggendo qualche libro di algebra di S. Lang?)
Mi sa che hai finito. Infatti il tuo gruppo $G$ è abeliano.

[Paolo90]

Mamma mia, che figura . Stavo annegando in una pozzanghera...
Grazie, dissonance.

Verissimo, $G$ è abeliano, quindi anche $N$ lo è. Segue che i laterali coincidono.

Il testo dell'esercizio prosegue poi dicendo: "si studi il quoziente, dicendo a quale gruppo noto è isomorfo".
Premetto che noi a lezione abbiamo solo accennato ai gruppi quozienti, ma se qualcuno ha voglia di illuminarmi lo ascolto volentieri. Per costruire il quoziente devo comunque capire come sono fatti i laterali, no (che sarebbero le classi di equivalenza)? E per fare questo come si fa?

L'esercizio è legato per caso anche al teorema fondamentale (che noi non abbiamo fatto)? Grazie ancora di tutto.

P.S. No, non sto leggendo esattamente Lang (ogni tanto gli do un'occhiata, ma non uso principalmente quello). E' un esercizio tratto dal Piacentini-Cattaneo (non uso nemmeno questo a lezione, ci studio io a casa per conto mio, cercando di approfondire e capire meglio). Grazie ancora.

[Martino]

Ciao!

Verissimo, $G$ è abeliano, quindi anche $N$ lo è. Segue che i laterali coincidono.

Non è questo il punto. Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale. Questo segue dal fatto che ogni elemento ha un unico coniugato: infatti $g^{-1}xg=x$ per ogni $x,g$ nel gruppo.

Per quanto riguarda il quoziente, prova a considerare la funzione $G to RR$ che manda $f$ in $f(1/3)$.

[Paolo90]

Ciao carissimo. Anzitutto grazie per la risposta.

Ciao!

Verissimo, $G$ è abeliano, quindi anche $N$ lo è. Segue che i laterali coincidono.

Non è questo il punto. Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale. Questo segue dal fatto che ogni elemento ha un unico coniugato: infatti $g^{-1}xg=x$ per ogni $x,g$ nel gruppo.

Ah, ho capito. Scusami, non abbiamo fatto i coniugati, per cui non sapevo di questo. Ho semplicemente pensato: i sottogruppi di un gruppo abeliano sono tutti abeliani. Quindi laterali destri e sinistri coincidono, cioè i sottogruppi sono tutti normali. Sono sbagliate queste implicazioni?

Per quanto riguarda il quoziente, prova a considerare la funzione $G to RR$ che manda $f$ in $f(1/3)$.

Dunque, una funzione che manda $f$ in $f(1/3)$. E' una funzione che manda gli elementi del sottogruppo in zero... ma mi sa che non ho afferrato dove volessi portarmi... Adesso ci penso ancora un po'...
Grazie per il suggerimento e per l'aiuto.
Ciao mitico!

[Martino]

Ho semplicemente pensato: i sottogruppi di un gruppo abeliano sono tutti abeliani. Quindi laterali destri e sinistri coincidono, cioè i sottogruppi sono tutti normali. Sono sbagliate queste implicazioni?

Mi sembrava che volessi dedurre che $N$ è normale dal fatto che è abeliano. Ma non puoi fare questo. Per esempio considera il sottogruppo $\{1,(12)\}$ di $S_3$. Si tratta di un sottogruppo abeliano di $S_3$ ma non normale, per esempio $(12)^{(13)}=(23)$ non appartiene a $\{1,(12)\}$.

Un sottogruppo $H$ di $G$ è normale se $g^{-1}hg in H$ per ogni $g in G$, $h in H$. Ma se $G$ è abeliano si ha $g^{-1}hg=h$, quindi banalmente $g^{-1}hg in H$ se $h in H$, proprio perché $h in H$.
Ma il fatto che $H$ sia abeliano non ti assicura che un elemento di $H$ commuti con un elemento fuori da $H$.

Per quanto riguarda il quoziente, prova a considerare la funzione $G to RR$ che manda $f$ in $f(1/3)$.

Dunque, una funzione che manda $f$ in $f(1/3)$. E' una funzione che manda gli elementi del sottogruppo in zero... ma mi sa che non ho afferrato dove volessi portarmi... Adesso ci penso ancora un po'...

Allora dico un'altra cosa: "primo teorema di isomorfismo".

Grazie per il suggerimento e per l'aiuto.
Ciao mitico!

Ciao mitico!

[Paolo90]

Mi sembrava che volessi dedurre che $N$ è normale dal fatto che è abeliano. Ma non puoi fare questo. Per esempio considera il sottogruppo $\{1,(12)\}$ di $S_3$. Si tratta di un sottogruppo abeliano di $S_3$ ma non normale, per esempio $(12)^{(13)}=(23)$ non appartiene a $\{1,(12)\}$.

Evidentemente, Martino, sei provvidenziale. Menomale che mi hai fatto notare questa cosa, avevo una bella convizione errata. Sarà che a lezione non abbiamo fatto nel dettaglio tutte queste cose, ma chissà perchè ero certo che un sottogruppo abeliano fosse automaticamente normale. Grazie davvero per avermi fatto notare questo mio grave errore.

La versione giusta dei fatti dovrebbe essere la seguente (leggo dal mio libro): se $G$ è abeliano, allora ogni suo sottogruppo è normale.
Ok?

Solo una cosa, a livello di notazione: con $(12)^{(13)}$ intendi l'operazione di composizione per cui prima applichi $(13)$ e poi $(12)$ o un'altra cosa? Perchè io non mi ritrovo molto: a me risulta $(12)(13)=(132)$. Scusami, probabilmente sono io che ho qualche altra lacuna nella preparazione...

Un sottogruppo $H$ di $G$ è normale se $g^{-1}hg in H$ per ogni $g in G$, $h in H$. Ma se $G$ è abeliano si ha $g^{-1}hg=h$, quindi banalmente $g^{-1}hg in H$ se $h in H$, proprio perché $h in H$.
Ma il fatto che $H$ sia abeliano non ti assicura che un elemento di $H$ commuti con un elemento fuori da $H$.

Ora va meglio, le idee sono un po' più chiare. Era questo a questo genere di cose a cui ti riferivi quando dicevi "coniugato", vero?

Allora dico un'altra cosa: "primo teorema di isomorfismo".

Perfetto, sapevo che questo esercizio era troppo per me. Mi manca il teorema di isomorfismo, non è in programma. Come posso ovviare a questa mia mancanza?

Grazie mille per la tua infinita disponibilità e scusami per il disturbo. Grazie mille davvero, carissimo.

[Martino]

La versione giusta dei fatti dovrebbe essere la seguente (leggo dal mio libro): se $G$ è abeliano, allora ogni suo sottogruppo è normale.
Ok?

Esatto. Osserva che il viceversa non è vero: esistono gruppi non abeliani tali che ogni sottogruppo è normale. Un esempio è il gruppo dei quaternioni $Q_8$.

Solo una cosa, a livello di notazione: con $(12)^{(13)}$ intendi l'operazione di composizione per cui prima applichi $(13)$ e poi $(12)$ o un'altra cosa? Perchè io non mi ritrovo molto: a me risulta $(12)(13)=(132)$. Scusami, probabilmente sono io che ho qualche altra lacuna nella preparazione...

In generale se $x$ e $y$ sono elementi di un gruppo, con $x^y$ denoto l'elemento $y^{-1}xy$. Quindi $(12)^{(13)}=(13)^{-1}(12)(13)=(13)(12)(13)=(23)$. $x^y$ si dice coniugato di $x$ tramite $y$. Un sottogruppo è normale quando il coniugato di ogni suo elemento è nel sottogruppo (cioè quando è stabile per l'azione di coniugio).

Allora dico un'altra cosa: "primo teorema di isomorfismo".

Perfetto, sapevo che questo esercizio era troppo per me. Mi manca il teorema di isomorfismo, non è in programma. Come posso ovviare a questa mia mancanza?

Allora studia le classi laterali di $N$. Osserva che due funzioni $f$ e $g$ stanno nella stessa classe modulo $N$ se assumono lo stesso valore in $1/3$. Ne segue che tale valore comune identifica la classe. Siccome ogni numero reale è un possibile valore assunto in $1/3$, il candidato gruppo quoziente è tutto $RR$. Ora, si tratta di passare ad una dimostrazione rigorosa, e il teorema di isomorfismo è comodo in questo senso. Non so di quanti strumenti disponi..

[Paolo90]

Carissimo Martino,

che cosa ci facevi sveglio all'una di notte a pensare ai miei problemi? . Grazie ancora per il tuo post. Veniamo a noi:

La versione giusta dei fatti dovrebbe essere la seguente (leggo dal mio libro): se $G$ è abeliano, allora ogni suo sottogruppo è normale.
Ok?

Esatto. Osserva che il viceversa non è vero: esistono gruppi non abeliani tali che ogni sottogruppo è normale. Un esempio è il gruppo dei quaternioni $Q_8$.

Ok, questo l'ho capito.

Solo una cosa, a livello di notazione: con $(12)^{(13)}$ intendi l'operazione di composizione per cui prima applichi $(13)$ e poi $(12)$ o un'altra cosa? Perchè io non mi ritrovo molto: a me risulta $(12)(13)=(132)$. Scusami, probabilmente sono io che ho qualche altra lacuna nella preparazione...

In generale se $x$ e $y$ sono elementi di un gruppo, con $x^y$ denoto l'elemento $y^{-1}xy$. Quindi $(12)^{(13)}=(13)^{-1}(12)(13)=(13)(12)(13)=(23)$. $x^y$ si dice coniugato di $x$ tramite $y$. Un sottogruppo è normale quando il coniugato di ogni suo elemento è nel sottogruppo (cioè quando è stabile per l'azione di coniugio).

Anche questo l'ho capito, a lezione non l'avevamo vista così, ma è ok, persin più chiaro.

Allora studia le classi laterali di $N$. Osserva che due funzioni $f$ e $g$ stanno nella stessa classe modulo $N$ se assumono lo stesso valore in $1/3$. Ne segue che tale valore comune identifica la classe. Siccome ogni numero reale è un possibile valore assunto in $1/3$, il candidato gruppo quoziente è tutto $RR$. Ora, si tratta di passare ad una dimostrazione rigorosa, e il teorema di isomorfismo è comodo in questo senso. Non so di quanti strumenti disponi..

Dispongo di ben pochi strumenti, direi. A lezione non l'abbiamo visto, perchè della teoria dei gruppi si dovevano fare solo cenni. Oggi pomeriggio ho provato a studiarmi il teorema di isomorfismo, ma non è che ci abbia cavato molto. In pratica, ho capito che dato un omomorfismo $f$ di gruppi $G$ e $G'$, esiste un isomorfismo tra $G/"Ker f"$ e $Imf$. Giusto? Adesso, mi sono fatto qualche esempietto semplice semplice.
Mi sono detto: prendo un omomorfismo $phi: 4ZZ->ZZ_5$, con $phi(4x)=[x]_5$ (ti ritrovi nelle notazioni o devo scrivere in altro modo?)
Bene, mi sono trovato il $"ker" phi={4x in ZZ " tali che " f(4x)=[0]_5}$. In parole poverissime, i multipli di $4$, che sono contemporaneamente multipli di $5$: $"ker" phi = 20ZZ$.

Bene, allora esiste un isomorfismo tra $(4ZZ)/(20ZZ)$ e $ZZ_5$ (va be', prima ho dimostrato che è un epimorfismo, il che dovrebbe essere ovvio, quindi $Imf=ZZ_5$). Ho però qualche dubbio su quale effettivamente sia questo isomorfismo: devo trovarlo? Se sì come? Si tratta di scrivere il mio morfismo $phi$ come prodotto di una suriezione (=proiezione sul quoziente) per una biiezione (=il sospirato isomorfismo)?

E' giusto ciò che ho detto? Come si può legare tutto ciò all'esercizio di partenza? Scusa, mi rendo conto che per te queste saranno banalità, ma non sono cose così immediate, almeno all'inizio...
GRAZIE per l'aiuto e grazie ancora di tutto.

[Martino]

In pratica, ho capito che dato un omomorfismo $f$ di gruppi $G$ e $G'$, esiste un isomorfismo tra $G/"Ker f"$ e $Imf$. Giusto?

Esatto, e se lo chiami $bar(f)$ è definito da $bar(f)(g+ker(f)) = f(g)$. La dimostrazione del teorema di isomorfismo prevede la verifica del fatto che questa posizione definisce "bene" (cioè rappresentanti distinte di una stessa classe hanno la stessa immagine) un isomorfismo di gruppi.

Quindi nel tuo caso, se definisci $phi$ come la funzione $G to RR$ che manda $f$ in $f(1/3)$ puoi osservare che si tratta di un omomorfismo suriettivo di gruppi, e quindi $G//ker(phi) cong RR$. Ora, siccome $ker(phi)=N$, hai risolto l'esercizio.