A metà strada tra la topologia e l'Algebra: $RR$ / $QQ$

[Paolo90]

Buonasera a tutti.

Oggi durante una lezione di topologia è venuto fuori il quoziente \( \displaystyle \mathbb{R}/\mathbb{Q} \) . Purtroppo, il discorso è stato solo "accennato" e ovviamente non ha soddisfatto la mia curiosità.
Vorrei chiedervi qualche dritta su come approfondire meglio la faccenda.

Per prima cosa, sia $QQ$ sia $RR$ sono gruppi abeliani; non solo, ma essendo $RR$ abeliano, ho che $QQ$ è normale in $RR$, dunque il quoziente \( \displaystyle \mathbb{R}/\mathbb{Q} \) è (algebricamente parlando) un gruppo. Bene: a che cosa è isomorfo? Vado al quoziente identificando due numeri reali quando questi differiscono per un numero razionale ma... che gruppo ottengo? In questa (per me indimenticabile ) discussione con Martino, avevamo trovato un gruppo isomorfo a \( \displaystyle \mathbb{R}/\mathbb{Q} \) ma non avevo approfondito ulteriormente.

Andiamo ora a livello topologico: \( \displaystyle \mathbb{R}/\mathbb{Z} \) non dà problemi, è molto bello, è (omeomorfo a) un $S^1$ e lo posso vedere anche come un quoziente per un azione di gruppo. Ma \( \displaystyle \mathbb{R}/\mathbb{Q} \) ? Immagino che anche lui possa vedersi come quoziente per un azione di $QQ$ su $RR$ (e se non sbaglio, l'azione dovrebbe essere la traslazione di un numero razionale, esattamente come in \( \displaystyle \mathbb{R}/\mathbb{Q} \) l'azione era data dalla traslazione di un numero intero). Quali proprietà topologiche ha il quoziente? Immagino sia una roba abbastanza brutta, facendo due conti rapidi non pare nemmeno un Hausdorff ($T_2$).

Infine, l'interpretazione "geometrica", in algebra lineare: mi è stato detto che c'è una specie di problema aperto (?) che consiste nel capire a fondo le proprietà di $RR$ come $QQ$-spazio vettoriale (si noti che ciò ha senso, in quanto ogni estensione di campi $L subset K$ induce su $K$ una struttura naturale di $L$-spazio vettoriale). Ad esempio, pare non si siamo ancora in grado di esibire una base di $RR$ su $QQ$. E' vero tutto ciò?

Grazie in anticipo per le vostre illuminazioni.

[Martino]

Piglia un aperto \( \displaystyle U \) di \( \displaystyle S := \mathbb{R}/\mathbb{Q} \) . Diciamo \( \displaystyle U=\{x+\mathbb{Q}\ |\ x \in I\} \) per un opportuno \( \displaystyle I \subseteq \mathbb{R} \) . Allora per definizione \( \displaystyle \pi^{-1}(U) = \cup_{x \in I} (x+\mathbb{Q}) \) e' aperto in \( \displaystyle \mathbb{R} \) (qui \( \displaystyle \pi \) e' la proiezione \( \displaystyle \mathbb{R} \to S \) ). Se \( \displaystyle U \neq S \) allora esiste \( \displaystyle y+\mathbb{Q} \in S-U \) , in particolare \( \displaystyle y+\mathbb{Q} \) e' contenuto in \( \displaystyle \mathbb{R}-\pi^{-1}(U) \) (ricorda che \( \displaystyle S \) e' una partizione di \( \displaystyle \mathbb{R} \) ), che e' un chiuso di \( \displaystyle \mathbb{R} \) . Ma allora tale chiuso e' denso (dato che \( \displaystyle y+\mathbb{Q} \) e' denso in \( \displaystyle \mathbb{R} \) ) e quindi \( \displaystyle \pi^{-1}(U) = \emptyset \) , in altre parole \( \displaystyle U=\emptyset \) . Quindi la topologia di \( \displaystyle \mathbb{R}/\mathbb{Q} \) e' quella banale.

Tutto cio' non richiede visioni "algebriche" delle cose. L'algebra entra in gioco quando uno osserva che l'operazione di somma \( \displaystyle \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) (quella che rende \( \displaystyle \mathbb{R} \) un gruppo) e il passaggio all'inverso (additivo) \( \displaystyle \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) sono funzioni continue. Questo dice che \( \displaystyle \mathbb{R} \) e' un gruppo topologico e ora ci si puo' divertire con l'algebra.

[Paolo90]

Wow

Che figo, addirittura la topologia banale: non pensavo si arrivasse a tanto. Martino, ti ringrazio per le tue gentili e chiare spiegazioni.
Credo di aver afferrato più o meno tutto: in sostanza, quello che ci frega è la densità dei razionali in $RR$. Detto in maniera molto più rozza, hai mostrato che in $RR$ non ci sono aperti saturi rispetto a $QQ$ (all'infuori del vuoto e di $RR$ stesso, si capisce). *

Quanto ai gruppi topologici, avevo letto qualcosa sul Sernesi 2 o su qualche altro libro, ma solo di sfuggita (non è programma d'esame, quindi per evitare di confondermi le idee e per mancanza di tempo non avevo letto nei dettagli). Vedo ora, però, che l'argomento è molto interessante e forse merita un po' più di attenzione: se hai tempo e voglia, puoi spenderci due parole (magari con riferimento specifico al nostro caso $RR//QQ$), per favore? Le leggerei molto volentieri.

Solo se hai tempo e voglia, mi raccomando.
Grazie ancora.

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* Per completezza, definisco $U subseteq X$ aperto saturo (rispetto a $rho$ relazione d'equivalenza) se, qualora $x in U$, allora $[x] subseteq U$. Si può provare che tale condizione è equivalente a richiedere $pi^-1pi(U)=U$ (al solito $pi$ proiezione canonica sul quoziente $X//rho$).

[dissonance]

@Paolo: Se hai completato un corso base di topologia (e penso proprio di si da come scrivi), sui gruppi topologici ti consiglio i Supplementary Exercises al termine del secondo capitolo di Topology di Munkres. Si tratta di una manciata di esercizi, disposti in modo da svelarti un po' alla volta i fondamenti dell'argomento senza entrare troppo nel tecnico e ottenendo come effetto collaterale una bella revisione dei fondamenti di topologia generale. Io li ho trovati molto divertenti, perfetti per le vacanze di Natale.

[Martino]

Posso fare delle osservazioni/esempi per farti un po' vedere come interagiscono algebra e topologia.

Prendi un gruppo topologico \( \displaystyle G \) . Osserva che fissato \( \displaystyle g \in G \) le funzioni \( \displaystyle G \to G \) definite da \( \displaystyle x \mapsto gx \) e \( \displaystyle x \mapsto xg \) sono continue, essendo composizioni di funzioni continue: \( \displaystyle G \to G \times G \to G \) , dove la seconda freccia e' il prodotto e la prima freccia e' la mappa \( \displaystyle x \mapsto (g,x) \) oppure \( \displaystyle x \mapsto (x,g) \) . Questo implica che se \( \displaystyle U \) e' un aperto di \( \displaystyle G \) allora \( \displaystyle Ug \) e \( \displaystyle gU \) (e anche \( \displaystyle U^{-1}:=\{u^{-1}\ |\ u \in U\} \) ) sono aperti di \( \displaystyle G \) per ogni \( \displaystyle g \in G \) (sono controimmagini di \( \displaystyle U \) rispetto a opportune moltiplicazioni a destra, prova a vedere quali). Per lo stesso motivo se \( \displaystyle U \) e' chiuso allora \( \displaystyle Ug \) e \( \displaystyle gU \) (e anche \( \displaystyle U^{-1} \) ) sono chiusi.

Ora arrivano le cose magiche. Se il tuo \( \displaystyle U \) oltre ad essere aperto e' un sottogruppo di \( \displaystyle G \) allora e' anche chiuso. Infatti e' il complementare dell'unione di aperti \( \displaystyle \cup_{g \in G-U} gU \) (!). Se invece hai un sottogruppo chiuso \( \displaystyle U \) di \( \displaystyle G \) non e' detto che sia aperto, ma lo e' se ha indice finito, infatti in tal caso l'unione di chiusi \( \displaystyle \cup_{g \in G-U} gU \) e' finita (e quindi e' un chiuso!). Se il gruppo \( \displaystyle G \) e' compatto allora ogni sottogruppo aperto ha indice finito, infatti (ecco la magia di nuovo) i laterali (destri o sinistri) del sottogruppo aperto formano un ricoprimento aperto di \( \displaystyle G \) (!). Poi ci sono altri risultati carini, tipo che se \( \displaystyle N \unlhd G \) allora \( \displaystyle G/N \) con la topologia quoziente e' ancora un gruppo topologico (non e' difficile dimostrarlo).

Ora, cosa significa che \( \displaystyle G \) e' di Hausdorff? Ti dimostro che questo vale se e solo se il punto \( \displaystyle \{1\} \) e' chiuso in \( \displaystyle G \) (!). Ovviamente l'implicazione \( \displaystyle (\Rightarrow) \) e' immediata, quindi provo l'altra. Prendiamo due punti \( \displaystyle x \neq y \) in \( \displaystyle G \) . Ora \( \displaystyle x^{-1}y \neq 1 \) e \( \displaystyle \{x^{-1}y\} = x^{-1}y \{1\} \) e' chiuso perche' \( \displaystyle \{1\} \) e' chiuso (cf. sopra). Prendiamo allora l'aperto \( \displaystyle U:=G-\{x^{-1}y\} \) . Esso contiene \( \displaystyle 1 \) . Siccome \( \displaystyle \varphi :G \times G \to G \) , \( \displaystyle (g,h) \mapsto gh^{-1} \) e' una funzione continua (composizione di ...), \( \displaystyle \varphi^{-1}(U) \) e' un aperto di \( \displaystyle G \times G \) contenente \( \displaystyle (1,1) \) , quindi esistono aperti \( \displaystyle V,W \) di \( \displaystyle G \) tali che \( \displaystyle (1,1) \in V \times W \subseteq \varphi^{-1}(U) \) . Considera \( \displaystyle xV \) e \( \displaystyle yW \) . Sono aperti di \( \displaystyle G \) e siccome \( \displaystyle 1 \in V \cap W \) si ha \( \displaystyle x \in xV \) e \( \displaystyle y \in yW \) . Sono disgiunti perche' se per assurdo \( \displaystyle xv=yw \) con \( \displaystyle v \in V \) e \( \displaystyle w \in W \) allora \( \displaystyle \varphi(v,w) = vw^{-1} = x^{-1}y \not \in U \) .

Poi ti posso parlare dei gruppi profiniti, che sono il caso piu' vicino a quello che faccio. Un gruppo topologico \( \displaystyle G \) si dice profinito se e' compatto e totalmente disconnesso. Qui ci sarebbero tante cose da dire, ma mi limito a quella che fa capire meglio il senso dei gruppi profiniti. Un gruppo topologico \( \displaystyle G \) e' profinito se e solo se e' isomorfo come gruppo topologico (cioe' isomorfo come gruppo ed omeomorfo come spazio topologico) ad un sottogruppo chiuso di un prodotto cartesiano di gruppi finiti (dove ogni fattore ha la topologia discreta e il prodotto ha la topologia prodotto). Se la cosa ti sembra ancora oscura, ti posso dire che accade un'altra magia: i gruppi profiniti sono esattamente i gruppi di Galois delle estensioni algebriche. I fattori finiti del prodotto cartesiano di cui poco sopra corrispondono ai gruppi di Galois delle sotto-estensioni finite. Lo trovo esaltante

[Lord K]

Se vogliamo, \( \displaystyle \mathbb R/ \mathbb Q \) è possibile vederlo come un frattale con tutte le problematiche che questo comporta.

[j18eos]

A meno che abbia capito male: i gruppi topologici con sottogruppi ad indice finito sono sconnessi?!

[Martino]

i gruppi topologici con sottogruppi ad indice finito sono sconnessi?!

Questa domanda non mi sembra per nulla banale. Certamente se il gruppo topologico G ha un sottogruppo proprio chiuso di indice finito allora G e' sconnesso. E se G ha un sottogruppo proprio aperto allora e' sconnesso. Ma dedurre proprieta' topologiche da proprieta' puramente algebriche mi sembra arduo (magari mi sbaglio). Per esempio c'e' il teorema di Nikolov-Segal che dice che in un gruppo profinito finitamente generato (cioe' che ammette un sottogruppo denso finitamente generato) ogni sottogruppo di indice finito e' aperto. Ma e' un teorema profondo.

[j18eos]

A dire il vero già è arduo di suo dedurre proprietà topologiche di un dato spazio, ignoro del tutto cosa accada quando tale spazio è strutturabile anche come struttura algebrica quale gruppo.

Questa volta dal mio leggere male ho appreso grandi cose!

[maurer]

Riesumo questo thread per proporre un esercizio.

Come sappiamo \( \displaystyle \mathbb Q / \mathbb Z \) è uno \( \displaystyle \mathbb Z \) -modulo. L'unico modo in cui io non mi spavento a pensare a questo gruppo è pensarlo come l'unione di tutte le radici algebriche dell'unità, ossia come \( \displaystyle \{\exp \left( \frac{2 \pi i p}{q} \right) \in \mathbb C^\times \mid p,q \in \mathbb Z, q \ne 0\} \) .

Esercizio 1. Mostrare che come \( \displaystyle \mathbb Z \) modulo si ha \( \displaystyle \mathbb Q / \mathbb Z = \varinjlim_{\mathbb n} \: \mathbb Z / n \mathbb Z \) dove questo colimite (in senso categoriale) è preso sulla categoria \( \displaystyle (\mathbb N, \mid) \) ( \( \displaystyle \mathbb N \) pensato come insieme parzialmente ordinato rispetto alla relazione di divisibilità). Ovviamente si intende che se \( \displaystyle n \mid m \) , \( \displaystyle m = an \) allora la mappa \( \displaystyle \mathbb Z / n \mathbb Z \to \mathbb Z / m \mathbb Z \) è la moltiplicazione per \( \displaystyle a \) .

Esercizio 2. Si può generalizzare il punto ad un qualsiasi dominio integro?