A proposito di 'grandi numeri'...

Messaggioda lupo grigio » 08/09/2006, 10:57

Ragazzi
non capito di sovente nella sezione 'giochi matematici' ma oggi che è un venerdì voglio un poco divertirmi anch'io. Spesso ho provato ad immaginare quali dovevano essere le difficoltà pratiche inocntrate dai matematici dei secoli passati, allorchè non esistevano i computer. Per farcene un'idea voglio proporre a voi una serie di 'indovinelli' [chiamiamoli così ...] e questo è il primo...

Uno dei 'limiti fondamentali' insegnati già alle scuole superiori è il seguente...

$lim_(n->+oo) (1+1/n)^n=e$ (1)

La domanda è la seguente: quanto [all'incirca...] deve essere 'grande' $n$ nella (1) per avere $e$ con cinque cifre esatte?...

cordiali saluti

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Messaggioda blackdie » 08/09/2006, 11:41

All' incirca $n=745000$,pero lo ammetto, l 'ho fatto col computer x tentativi....
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Messaggioda Bruno » 08/09/2006, 11:59

Forse sbaglio, Blackdie, ma non penso che Lupo grigio
si riferisca a 5 decimali.
La porzione di e da considerare, secondo me, è 2,7182.
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Messaggioda lupo grigio » 08/09/2006, 12:26

Quello che dice Bruno è esatto, cinque cifre e quindi $e=$'circa' $2.7182$...

Però se qualcuno me la dà a sei cifre allora $e=$'circa' $2.71828$...

cordiali saluti

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Messaggioda lupo grigio » 08/09/2006, 13:27

In ogni caso l'affermazione di balckdie è esatta. Operando in base alla formula...

$e=lim_(n->+oo) (1+1/n)^n$

... uno scassatissimo pentium della prima generazione per calcolare $e$ con cinque cifre compie $16609$ iterazioni e con sei cifre $743255$ iterazioni. Dal momento che già tre secoli fà il valore di $e$ era noto con una precisione maggiore di sei cifre, si presume che i matematici di allora siano ricorsi a qualche 'scorciatoia'...

Quindi problemino: trovare una via che consenta il calcolo di $e$ con cinque e sei cifre più velocemente, indicando il numero di iterazioni da eseguire...

cordiali saluti

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Messaggioda mircoFN » 08/09/2006, 14:49

Beh calcolare $e$ da tale definizione è masochistico perchè la successione è molto lentamente convergente.
Ma già Newton sapeva fare di meglio. Guardare per credere:
http://mathworld.wolfram.com/e.html


ciao
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Messaggioda Maxos » 08/09/2006, 14:50

Beh, nessuno si metterebbe a calcolarlo con la successione, è più conveniente usare Taylor e poi quantificare l'errore con Lagrange
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Messaggioda blackdie » 08/09/2006, 15:31

Bruno ha scritto:Forse sbaglio, Blackdie, ma non penso che Lupo grigio
si riferisca a 5 decimali.
La porzione di e da considerare, secondo me, è 2,7182.



Ah, chedio venia,avevo capito proprio 5 cifre decimali...
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Messaggioda lupo grigio » 08/09/2006, 15:43

Che Newton non fosse un pivello questo lo sappiamo con certezza!... Supponiamo però che, ad oltre tre secoli di distanza, a un condannato a morte si offra la grazia se riesce, disponendo della sola calcolatrice a mano, a calcolare il numero $e$ con cinque [o magari sei... :twisted:] cifre esatte prima dell'esecuzione prevista fra otto ore... :twisted: :twisted:

Che l'applicazione diretta della definizione di $e$ non sia particolrmente comoda è evidente, Questo non è di soddisfazione al nostro condannato a morte il quale deve trovare qualche marchingegno atto a risolvere il problema. Già ma come fare?...

Una soluzione potrebbe essere quella di usare la formula generale...

$e^t=lim_(n->+oo) (1+t/n)^n$ (1)

... con l'intento di calcolare la radice k-esima di $e$ e poi ricavare $e$ elevando il valor trovato alla $k$, cosa che in fin dei conti richiede solamente $k$ moltiplicazioni . Esaminando alcuni possibili casi si trova [verificare per credere...] ...

$k=1/2$ -> $e^(1/2)=lim_(n->+oo) (1+1/(2n))^n$

In questo caso per ottenere cinque cifre esatte sono necessarie $9689$ iterazioni, sei cifre esatte $162185$ iterazioni... ehm!... ancora siamo lontani...

$k=1/10$ -> $e^(1/10)=lim_(n->+oo) (1+1/(10n))^n$

In questo caso per ottenere cinque cifre esatte sono necessarie $78$ [!... :wink:] iterazioni, sei cifre esatte $6019$ operazioni... per il condannato c'è qualche barlume di speranza...

$k=1/20$ -> $e^(1/20)=lim_(n->+oo) (1+1/(20n))^n$

Ora per ottenere cinque cifre esatte sono necessarie $19$ [!!... :-D :-D ] iterazioni [più altre venti moltiplicazioni fanno $39$ in tutto...] e per sei cifre esatte $1199$ iterazioni... per il condannato in tal caso si profila una bella bevuta alla memoria di Isaac Newton!!!...

cordiali saluti

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Messaggioda mircoFN » 08/09/2006, 16:54

Invece di ridere di Newton, se lo avesse usato avrebbe potuto ottenere:
$\sum_{i=0}^8=2.71828$
con:
8 prodotti (elementari tra interi)
8 divisioni (reciproci)
8 somme di coppie di numeri

24 totale di operazioni semplici

La bevuta se la poteva fare ben prima, anche alla salute di Lupo Grigio!

Ciao
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