\( \displaystyle \forall \)\( \displaystyle \epsilon\gt{0} \)\( \displaystyle \exists{n}_{{0}}\in{N}{\mid}{n}\ge{n}_{{0}}\Rightarrow\frac{{1}}{{n}}\lt\epsilon \)

[GDLAN]

Pensavo che la negazione della proposizione potesse essere: (non riesco a scrivere in simboli appartiene ed ho usato €...se poteste dirmelo. grazie):

\( \displaystyle \exists\epsilon\gt{0} \) \( \displaystyle {\mid}{n}\ge{n}_{{0}} \) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle \frac{{1}}{{n}}\gt\epsilon \) \( \displaystyle \forall{n}_{{0}}€{N} \)

Come vi sembra?

Grazie Gdlan

[adaBTTLS]

benvenut* nel forum.

l simbolo di appartenenza all'interno di una formula si indica con "in" (senza virgolette).

basta riflettere che \( \displaystyle \forall \) e \( \displaystyle \exists \) sono operatori "duali": \( \displaystyle \neg\forall\equiv\exists\neg \), e viceversa, e procedere ordinatamente dall'esterno all'interno, cioè da sinistra a destra:
"non è vero che per ogni x vale la proprietà P(x)" significa "esiste x tale che non vale P(x)", e anche
"non è vero che esiste x tale vale P(x)" significa "per ogni x non vale P(x)".
nella tua espressione logica incontri "per ogni", allora la negazione diventa "esiste" ... e poi il contrario della proprietà ...
la proprietà inizia con "esiste", devi scrivere il contrario, dunque "per ogni" ... e poi il contrario ...
l'ultima proprietà che hai è un'implicazione, la quale è falsa solo se la premessa è vera e la conseguenza è falsa.

dopo un \( \displaystyle \forall\text{...} \) è bene mettere una virgola, e la virgola può sostuire anche la \( \displaystyle {\mid} \) del "tale che".

prova un attimo a rifletterci su, e prova tu a dare la soluzione. spero di esserti stata d'aiuto, comunque prova a scrivere qualcosa e chiedi eventualmente altri chiarimenti. ciao.

[pat87]

Di solito puoi sempre usare la regoletta:

\( \displaystyle \neg\exists=\forall\neg \)
\( \displaystyle \neg\forall=\exists\neg \)

o più in generale un'asserzione della forma diventa

\( \displaystyle \neg{\left(\forall\exists\ldots\forall\exists{A}\right)}=\exists\forall\ldots\exists\forall\neg{A} \).

Quindi la negazione sarebbe

\( \displaystyle \exists\epsilon\gt{0}\forall{n}_{{0}}\in\mathbb{N}{\mid}\neg{\left({n}\ge{n}_{{0}}\Rightarrow\frac{{1}}{{n}}\lt\epsilon\right)}=\ldots \).

(MODIFICATO)

[adaBTTLS]

@ pat87
sarebbe gradito non dare "la pappa pronta", come da regolamento, specialmente quando già un moderatore ha dato delle indicazioni in attesa di risposta da parte dell'autore del topic.
è possibile che avessi iniziato prima che io inviassi il post il questione, ...

comunque almeno non diamo informazioni fuorvianti:
\( \displaystyle \neg\exists \) equivale non a \( \displaystyle \forall \) ma a \( \displaystyle \forall\neg \), \( \displaystyle \neg\forall \) equivale a \( \displaystyle \exists\neg \) e non a \( \displaystyle \exists \).
poi, \( \displaystyle \neg{A}\vee{B} \) equivale all'implicazione, non alla sua negazione....

[pat87]

Scusa è che ho postato subito dopo di te.

Per il resto hai ragione. Ho scambiato l'equivalenza per negazione.

[GDLAN]

Allora spero di aver capito qualcosa:

\( \displaystyle \exists\epsilon\gt{0}\forall{n}_{{0}}\in{N}{\mid}{n}\ge{n}_{{0}}\Rightarrow\frac{{1}}{{n}}\lt\epsilon \)

Ho capito che la negazione di \( \displaystyle \forall \) è \( \displaystyle \exists \) e viceversa pero' non riesco a capire bene il significato di quel meno con la stanghettina prima o dopo ; il suo significato quando lo si mette prima e quando lo si mette dopo.

Grazie infinite Gdlan .

[adaBTTLS]

l'ultima proprietà, dopo la barra verticale che andrebbe sostituita con una virgola (va messa una barra verticale o una virgola dopo il primo simbolo, dove l'avevi inserita nel primo post), va sostituita con il contrario: qual è \( \displaystyle \neg{\left({n}\ge{n}_{{0}}\Rightarrow\frac{{1}}{{n}}\lt\epsilon\right)} \) ?

[GDLAN]

Forse ci siamo :

\( \displaystyle \exists\epsilon\gt{0}{\mid}{n}\ge{n}_{{0}}\Rightarrow\frac{{1}}{{n}}\gt\epsilon\forall{n}_{{0}}\in{N} \)

ma mentre sono abbastanza sicuro per la prima parte nascondo qualche perplessità per la seconda : "ne segue che...."

Fatemi sapere grazie .

Gdlan

[adaBTTLS]

io ti avevo scritto così:
l'ultima proprietà che hai è un'implicazione, la quale è falsa solo se la premessa è vera e la conseguenza è falsa.
rifletti su questo.
poi, per rispondere a pat87, ho anche scritto che \( \displaystyle \neg{A}\vee{B} \) equivale all'implicazione, non alla sua negazione....
da queste due cose puoi ricavare che la negazione dell'ultima formula è \( \displaystyle {A}\wedge\neg{B} \).

ti invito però a riflettere su una cosa: \( \displaystyle {n}\ge{n}_{{0}}\Rightarrow\frac{{1}}{{n}}\lt\epsilon \) significa "se n è maggiore o uguale a n0, allora 1/n è minore di epsilon", cioè "per ogni n maggiore o uguale a n0, 1/n è minore di epsilon"; allora la negazione è "esiste almeno un n maggiore o uguale a n0 tale che 1/n non è minore di epsilon (cioè è maggiore o uguale a epsilon)".

ci siamo ora? ce la fai a formalizzare? ciao.

[GDLAN]

Non ci riesco. Io so che la tabella di verità dell'implicazione è la stessa dell' "or" cioò l'implicazione è falsa solo quando B è falsa e A è vera. Per il resto la tabella dell'implicazione è sempre vera. Così per l'unione: sempre vera solo quando A e B sono false allora anche l'unione è falsa. Detto questo non riesco a passare da questa conoscenza all'esempio di cui sopra con l'implicazione in oggetto. Devo trovare la negazione , ma la negazione la posso trovare comunque sia quando la premessa è vera e l'implicazione è falsa o viceversa , oppure entrambe vere od entrambe false. Io non so capire come deve essere la premessa e l'implicazione per poter passare alla negazione, a meno che non ci sia nella premessa o nell'implicazione una proposizione sicuramente falsa che mi rende vera o falsa \( \displaystyle {A}\Rightarrow{B} \) .

Ma non la intravedo .

Grazie Gdlan.