Acqua nel vino... vino nell'acqua

[Fioravante Patrone]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

http://dri.diptem.unige.it/altro_materiale/travaso_24_mag_08.pdf

[mattoxlamatematica]

Il trend è quello del perfetto equilibrio tra le miscele (tenendo conto di un numero "infinito di travasi") che porterebbe in entrambi i contenitori una concentrazione di acqua pari al 62,5%, resto vino.
Considerando invece solo 16 travasi otteniamo un risultato abbastanza vicino alla saturazione vale a dire:
contenitore 1: acqua 62,51% acqua, resto vino
contenitore 2: vino 37,52 vino, resto acqua
... ma adesso non mi chiedere la concentrazione dopo 25 travasi perchè di conti non ne faccio più...
ciao

[Rigel]

@cenzo:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Indichiamo con \( \displaystyle {x}_{{n}} \) la frazione d'acqua nel primo contenitore all'\( \displaystyle {n} \)-esimo passo. Abbiamo che \( \displaystyle {x}_{{0}}={1} \); per "passo" intendiamo
"Riempiamo il cucchiaio nel primo recipiente e lo travasiamo nel secondo. Mescoliamo per bene.
Riempiamo il cucchiaio nel secondo recipiente e lo travasiamo nel primo. Mescoliamo per bene."
Indichiamo con \( \displaystyle {V}_{{1}} \), \( \displaystyle {V}_{{2}} \), \( \displaystyle {v} \), rispettivamente, il volume di acqua iniziale nel primo contenitore, quello iniziale di vino nel secondo e quello del cucchiaio, con gli ovvi vincoli \( \displaystyle {V}_{{1}},{V}_{{2}}\ge{0} \) e \( \displaystyle {0}\le{v}\le{V}_{{1}} \).
Salvo errori, \( \displaystyle {\left({x}_{{n}}\right)} \) è la successione definita per ricorrenza da
\( \displaystyle {x}_{{0}}={1},{x}_{{{n}+{1}}}={a}+{b}{x}_{{n}} \),
con \( \displaystyle {a}={\frac{{{v}}}{{{V}_{{2}}+{v}}}} \), \( \displaystyle {b}={\frac{{{V}_{{1}}-{v}}}{{{V}_{{1}}}}}\cdot{\frac{{{V}_{{2}}}}{{{V}_{{2}}+{v}}}} \).
Escludendo il caso banale \( \displaystyle {v}={0} \) abbiamo che \( \displaystyle {0}\le{b}\lt{1} \); di conseguenza una soluzione esplicita è
\( \displaystyle {x}_{{n}}=\lambda+{\left({x}_{{0}}-\lambda\right)}{{b}}^{{n}} \), con \( \displaystyle \lambda={\frac{{{a}}}{{{1}-{b}}}} \).
Con i dati proposti si ha (sempre salvo errori)
\( \displaystyle {x}_{{n}}={0.625}+{0.375}\cdot{{\left({0.9}\right)}}^{{n}} \).

[cenzo]

@Rigel

Chiedo scusa per questa risposta così in ritardo e ti ringrazio assai per aver postato la tua soluzione.
M'hai fatto scovare un errore nell'equazione di ricorrenza cui ero pervenuto..
e poi non avevo pensato si potesse risolvere.. mi è stato molto utile studiare un po' le equazioni alle differenze finite.

Chapeau!