Aiuto con le permutazioni!!

[Rolly92]

Ciao raga,
sono "nuova" nel forum e mi servirebbe un aiuto con alcuni esercizi please
Allora http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete/Tra ... cia_16.pdf ..ho risolto il PRIMO esercizio calcolando H1 e H2, ma ora non so come fare per determinare l'intersezione tra H1 e H2, perchè analizzando tutte le permutazioni di H1 ed H2 sarebbe TROPPO lungo!
Inoltre,http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete/Tracce/traccia_15.pdf
riguardo il PRIMO esercizio ho trovato H ma ora non so come calcolare |H| e il punto b.
Infine, http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete/Tra ... cia_13.pdf il SECONDO esercizio..mi spiegate come calcolare la controimmagine e un elemento che non possiede controimmagine..( in questo caso e se possibile la regola generale)...GRAZIE mille in anticipo a chiunque mi risponderà

[perplesso]

Veramente i link non funzionano ma vabbè ok ... Per quanto riguarda la traccia 16, nota che la prima permutazione

\( \displaystyle \delta={\left({1},{3},{9}\right)}{\left({2},{15},{11},{7},{8}\right)}{\left({4},{14},{10},{12},{13},{5},{6}\right)} \)

ha periodo dispari \( \displaystyle {m}{c}{m}{\left({3},{5},{7}\right)}={105} \) , pertanto anche \( \displaystyle {\delta}^{{2}} \) ha periodo \( \displaystyle {105} \) che è anche l'ordine del sottogruppo \( \displaystyle \lt{\delta}^{{2}}\gt \), invece

\( \displaystyle \tau={\left({1},{7}\right)}{\left({2},{5},{12},{9},{6},{4},{8},{3},{15},{10},{14}\right)}{\left({11},{13}\right)} \)

ha periodo \( \displaystyle {m}{c}{m}{\left({2},{11},{2}\right)}={22} \) e quindi

\( \displaystyle {\tau}^{{2}}={{\left({1},{7}\right)}}^{{2}}{{\left({2},{5},{12},{9},{6},{4},{8},{3},{15},{10},{14}\right)}}^{{2}}{{\left({11},{13}\right)}}^{{2}}={{\left({2},{5},{12},{9},{6},{4},{8},{3},{15},{10},{14}\right)}}^{{2}} \)

che è un 11-ciclo e quindi \( \displaystyle {\left|\lt{\tau}^{{2}}\gt\right|}={11} \) Adesso siccome \( \displaystyle \lt{\delta}^{{2}}\gt \) e \( \displaystyle \lt{\tau}^{{2}}\gt \) hanno ordini coprimi (ovvero \( \displaystyle {m}{c}{d}{\left({11},{105}\right)}={1} \)) è chiaro che l'intersezione non può che essere banale \( \displaystyle \lt{\delta}^{{2}}\gt\cap\lt{\tau}^{{2}}\gt={\left\lbrace{1}\right\rbrace} \)

[gior.gia91]

perplesso scusa..e nel caso in cui il mcd fosse stato diverso da 1 ..come si determina l intersezione?c è un esempio in cui non mi trovo in questo caso? grazie!

[perplesso]

Se i gruppi hanno pochi elementi, al limite ti calcoli tutte le permutazioni una per una e vedi quali sono quelle comuni. Ma in questo caso era impensabile che il prof volesse far calcolare 116 permutazioni ai suoi alunni durante un esame xD Perciò quando vedi che in un esercizio si lavora con dei gruppi di ordine "grande", di solito vuol dire che "c'è il trucco" (quale sia questo trucco dipende dai casi ... e i casi sono infiniti)

P.S. Se mi viene in mente qualche esempio (e non ho di meglio da fare) te lo scrivo. Ciao.

[gior.gia91]

ahahah okok grazie sei stato chiaro...

[Rolly92]

ook grazie!

[Rolly92]

Scusate ma se il MCD fosse stato un numero diverso da 1 , ma per esempio 12, vuol dire ke necessariamente gli elementi comuni sarebbero stati 12 ?

[perplesso]

Ma anche no. Che ragionamento hai fatto per arrivare a questa conclusione?
Domanda: conosci questi due fatti della teoria dei gruppi?

1) L'intersezione di due sottogruppi è un sottogruppo.
2) Se G è un gruppo finito allora l'ordine di un sottogruppo di G è un divisore dell'ordine di G

Che cosa ne deduci ?