aiuto con questa matrice

[gio88]

salve con ho un problema con questo esercizio con l'incognita K , perchè ci sono delle cose che non ho capito

l'esercizio è questo

1) data la matrice 3x3 a= \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{k}&-{1}\\{1}&{3}&{2}\\{0}&{0}&{1}}\right)} \) si discuta la variare del parametro reale K il sistema a * x = b

con b =\( \displaystyle {\left(\matrix{{0}\\-{1}\\{1}}\right)} \)

2) si risolva con k=2 e k=3


intanto so che lì'esercizio si riferisce a rouchè capelli , solo che sono bloccato alla prima parte dell'esercizio , più che altro perchè non capisco bene come procedere...

io come prima cosa ho fatto il determinate che mi viene k-3

successivamente faccio il rango di a \( \displaystyle {\left|\matrix{{1}&{k}\\{1}&{3}}\right|} \) e mi viene k=3 quindi rango almeno 2
poi faccio ancora il rango facendo così \( \displaystyle {{\left(-{1}\right)}}^{{6}}\cdot{\left|\matrix{{1}&{k}\\{1}&{3}}\right|} \) e vedo mi viene sempre k= 3 quindi il rango è 3

il problema qui è che sul libro mi da k\( \displaystyle \ne \)3 e non capisco su che principio per il rango superiore al 2 devo porre \( \displaystyle \ne \)0

successivamente faccio il rango di a/b sostituendo il 3

\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{3}&-{1}&{0}\\{1}&{3}&{2}&-{1}\\{0}&{0}&{1}&{1}}\right)} \) e vedo che il rango è 3

ora non capisco come stabilire quando è determinata o impossibile , so che per essere determinata r(a) = r(a/b) e per essere impossbile r(a) < r(a/b) qualcuno potrebbe aiutarmi?

[gio88]

qualcuno può aiutarmi??

[Delirium]

Questa è la sezione di Analisi Matematica. La tua è una richiesta circa un argomento di geometria.
Dovresti sapere dove si posta, dopo 74 messaggi.

[gio88]

non vengo sul forum da diverso tempo(grazie per gentilezza comunque....) , e comunque questi sono argomenti che faccio in matematica generale II , per quello ho postato nella sezione matematica.

[digimon]

Allora, vediamo di procedere per passi.

Per il punto 1, in pratica ti conviene cercare il determinante con Sarrus o con Laplace o con Gauss (che fa "3-k").
Dopodiché, constati il fatto che per 3-k diverso da 0, il rango è 3, ed è uguale a quello della matrice completa (quella cui aggiungi la colonna b, in pratica). Dunque il sistema è compatibile.

Per k = 3, il rango della matrice incompleta sarà 2 (perché il suo determinante sarà uguale a 0, quindi il rango si abbassa almeno di 1. Da l'ì, poi, se esiste un minore di ordine 2 diverso da zero sarà 2, se no il rango sarà 1). Starà a te verificare se, aggiungendo la colonna dei termini noti, il rango della matrice completa sarà lo stesso 2 o sarà 3. Ti dico, avendo fatto i conti, che il rango della matrice completa in quel caso sarà 3.

Cosa succede dunque? La discussione evolve in questo modo:

Nel caso in cui k diverso da 3, come detto sopra, il rango della matrice incompleta e quello della matrice completa sono uguali e corrispondo a 3. Il sistema, dunque, ammetterà 1 soluzione al variare delle incognite.

Per ricercarle, ti converrà utilizzare il metodo di Laplace.

Nel caso in cui il rango della completa e della incompleta sono diversi, per Rouché-Capelli, il sistema sarà INCOMPATIBILE e non vi saranno soluzioni.

Circa il punto 2, abbiamo praticamente già risolto con k=3. A te, dunque, tocca risolvere, come esercizio, per k = 2.

Spero di essere stato chiaro nella spiegazione e gentile nei modi. Un saluto caro!

[gio88]

grazie mille per l'aiuto! l'unico mio dubbio è solo come mai per il rango 2 pongo = 0 e quindi per k=3 e per il rango di 3 \( \displaystyle \ne \)0 con k\( \displaystyle \ne \)3 quindi, non ho capito il perchè, volevo sapere appunto se c'è una qualche regola che che lo esplica (e che probabilmente non ho studiato )!grazie in anticipo

[gio88]

allora , c'ho lavorato su per capire questo esercizio bene o meglio per capire quei punti che nonc apivo e sono arrivato a queste conclusioni , potreste dirmi se ho ragione o torto??

calcolo il determinante
di a = \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{k}&-{1}\\{1}&{3}&{2}\\{0}&{0}&{1}}\right)} \)

e vedo mi viene 3-k \( \displaystyle \ne \)0 quindi il rango massimo di a è 3 trovando appunto k\( \displaystyle \ne \)3

successivamente per k=3 (il risultato prima) , sostituisco il valore

\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{3}&-{1}\\{1}&{3}&{2}\\{0}&{0}&{1}}\right)} \)

calcolo il rango di 2 e vedo che \( \displaystyle {\left(\matrix{{3}&-{1}\\{3}&{2}}\right)} \) trovo = 9 quindi \( \displaystyle \ne \)0 e quindi per k=3 il rango è 2

successivamente cerco il rango di 3 orlando b

\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{3}&-{1}&{0}\\{1}&{3}&{2}&-{1}\\{0}&{0}&{1}&{1}}\right)} \)

e vedo che partendo dalla matrice di prima

cerco il determinante per \( \displaystyle {\left(\matrix{{3}&-{1}&{0}\\{3}&{2}&-{1}\\{0}&{1}&{1}}\right)} \)

e facendo \( \displaystyle {1}{{\left(-{1}\right)}}^{{5}}\cdot{\left|\matrix{{3}&{0}\\{3}&-{1}}\right|}+{1}{{\left(-{1}\right)}}^{{6}}\cdot{\left|\matrix{{3}&-{1}\\{3}&{2}}\right|} \) = 12 \( \displaystyle \ne \) 0

quindi rango 3

e vedo che per k=3 r(a) < r(a/b) quindi impossibile
per per k \( \displaystyle \ne \) 3 r(a) = r(a/b) quindi determinata

volevo sapere se era giusto! vedo che per k=3 mi fermo al rango 2 mentre il r/ab arriva fino a 3 e invece per k\( \displaystyle \ne \)3 i 2 ranghi arrivano fino al terzo e quindi sono determinati!

spero di non aver detto stupidate , quello che non capivo (sperando che quello che ho scritto sia giusto senò dovrei parlare al presente) è appunto su che base per k\( \displaystyle \ne \)3 e k=3 vedo queste diversità di risultati)

[gio88]

qualcuno potrebbe aiutarmi?

[digimon]

Si, esatto! E' un po' difficile capire, sei un po' confuso, ma va bene quello che dici!

Sul k=3..

Siccome tu hai visto che il determinante è 3-k, quando esso sarà uguale a 0, il rango scenderà. Quando 3-k sarà diverso da 0, il rango è 3.

Ora.. per quale valore il determinante sarà 0 e dunque il rango sarà 2? Semplice! Per 3-k=0, ossia, risolvendo la banalissima equazione cui siamo alla prese, 3=k ossia k=3!!!

Per questo studierai a parte il caso k=3 e, saputo che il rango dell'incompleta sarà 2, confronterai quest'ultimo con il rango della completa che, per effetto della colonna dei termini noti, sarà ancora 3.

Tutto chiaro ora?

Cari saluti! ... e tanto esercizio, mi raccomando!

[gio88]

ho capito , Grazie Mille!! sto facendo diversi esercizi