aiuto endomorfismo

[Maik89]

Salve a tutti ,

ragà non riesco a capire come devo svolgere questo endomorfismo, qualcuno può darmi qualche info:

Sia φ: ℝ4->ℝ4 l'endomorfismo tale che φ(x,y,z,t) = (x-2y, x-2z, y+t, x+2t).
Calcolare la matrice associata alla base canonica e determinare la dimensione ed una base per il nucleo e l'immagine di φ.


Grazie in anticipo.

[Sergio]

Un passo per volta. La matrice associata, in casi come questo, si calcola "a occhio".
Se non ci riesci, segui la saggia regola di partire dalle definizioni: parti cioè dalla definizione di matrice associata (non puoi non conoscerla) e applicala.

[dariuccio_1988]

Iniziamo col dire che la base canonica di \( \displaystyle {{R}}^{{4}} \) è ε: [ e1(1,0,0,0) ; e2(0,1,0,0) ; e3(0,0,1,0) ; e4(0,0,0,1) ]

Ora basta sostituire al generico vettore di \( \displaystyle {{R}}^{{4}} \) (x,y,z,t) i quattro vettori della base ,
ad esempio nel tuo caso :
hai : φ(x,y,z,t) = (x-2y, x-2z, y+t, x+2t)

metti :

φ(1,0,0,0) = (1,1,0,1) [cioè al posto di x,y,z,t metti x=1, y=0 , z=0 , t=0 ]

poi :

φ(0,1,0,0) = (-2,0,1,0) come prima

e cosi via troverai quattro immagini che sono :
(1,1,0,1) , (-2,0,1,0) , ............ (le altre le calcoli sono altre due)

otterrai quattro immagini formate da quattro elementi , in sostanza avrai una matrice 4x4
mettendo in colonna le quattro immagini

\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&-{2}&\ldots&\ldots\\{1}&{0}&\ldots&\ldots\\{0}&{1}&\ldots&\ldots\\{1}&{0}&\ldots&\ldots}\right)} \)

ecco la matrice ed ora puoi studiare Imf e Kerf.

[Sergio]

otterrai quattro immagini formate da quattro elementi , in sostanza avrai una matrice 4x4
mettendo in colonna le quattro immagini

Piccola imprecisione, che può avere effetti devastanti se non si lavora con spazi \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}} \) e con le loro basi canoniche: le colonne della matrice non contengono le immagini, ma le loro coordinate rispetto alla base di arrivo.
Le immagini e le loro coordinate coincidono solo se il codominio è uno spazio di tipo \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}} \) e la base di arrivo è quella canonica, altrimenti sono tutt'altra cosa!

Primo esempio: se hai un'applicazione da uno spazio di matrici ad uno di polinomi (o simili), sarà un po' tosta costruire una matrice che abbia colonne contenenti polinomi...

Secondo esempio: forse proprio questo, in cui le basi non sono canoniche.