[Teoria dei sistemi]Aiuto esercizio

[darinter]

Mi dite come lo posso impostare?
Ho che il modello di una malattia è:
\( \displaystyle {W}{\left({s}\right)}=\frac{{{10}}^{{-{7}}}}{{{s}-{{10}}^{{-{6}}}}} \)
determinare il tempo (in giorni) necessario affinchè l'indicatore di tale malattia si raddoppi se non curata.

p.s. \( \displaystyle {W}{\left({s}\right)} \) è la funzione di trasferimento nel dominio di Laplace.

Grazie

[Ska]

Cosa sarebbe l'indicatore della malattia?

Interpretando la cosa come, \( \displaystyle W(s) \) è la descrizione nel dominio di Laplace dell'evoluzione della malattia, e per indicatore intendendo il rapporto tra lo stato della malattia rapportato a quello iniziale, allora antitrasformando si ottiene \( \displaystyle w(t) = u(t) 10^{-7} e^{10^{-6} t} \) , quindi cerco \( \displaystyle \overline t \) tale per cui \( \displaystyle w(\overline t) = 2w(0) \) , cioè \( \displaystyle \overline t=10^6 ln(2) \) che risulta essere circa 8 giorni.

Se ovviamente non è questa l'interpretazione, allora dovresti spiegare più dettagliatamente la cosa. Non credo bisogni trattare \( \displaystyle W(s) \) come descrittore di un sistema, anche perchè allora sarei interessato alla sua uscita a fronte di un dato ingresso.... o per lo meno alla sua interpretazione come filtro in frequenza (IMHO).

[darinter]

Cosa sarebbe l'indicatore della malattia?

Interpretando la cosa come, \( \displaystyle W(s) \) è la descrizione nel dominio di Laplace dell'evoluzione della malattia, e per indicatore intendendo il rapporto tra lo stato della malattia rapportato a quello iniziale, allora antitrasformando si ottiene \( \displaystyle w(t) = u(t) 10^{-7} e^{10^{-6} t} \) , quindi cerco \( \displaystyle \overline t \) tale per cui \( \displaystyle w(\overline t) = 2w(0) \) , cioè \( \displaystyle \overline t=10^6 ln(2) \) che risulta essere circa 8 giorni.

Se ovviamente non è questa l'interpretazione, allora dovresti spiegare più dettagliatamente la cosa. Non credo bisogni trattare \( \displaystyle W(s) \) come descrittore di un sistema, anche perchè allora sarei interessato alla sua uscita a fronte di un dato ingresso.... o per lo meno alla sua interpretazione come filtro in frequenza (IMHO).

E' quello che mi sto chiedendo anche io,ma la traccia (è una prova d'esame) si limita a dire ciò che ho scritto.

[Ska]

O che \( \displaystyle w(t) \) stesso sia l'indicatore della malattia, la cosa che rimarrebbe un po' sospesa è "raddoppiare" rispetto a quale istante? Lo zero mi sembra ragionevole, potrebbe rappresentare il punto di inizio di evoluzione della malattia.... Anche in questo caso IMHO

[darinter]

O che \( \displaystyle w(t) \) stesso sia l'indicatore della malattia, la cosa che rimarrebbe un po' sospesa è "raddoppiare" rispetto a quale istante? Lo zero mi sembra ragionevole, potrebbe rappresentare il punto di inizio di evoluzione della malattia.... Anche in questo caso IMHO

Ma la fdt nel dominio del tempo mica può riguardarsi come evoluzione libera del sistema?Perchè tutto sommato penso la cosa più giusta sia arrivare alla evoluzione libera del sistema,ma non avendo lo stato iniziale....

[Ska]

La funzione di trasferimento, per definizione, è la relazione tra l'ingresso e l'uscita del sistema a condizione iniziale nulla, dunque posso risalire alla risposta forzata, inoltre rispetto alla rappresentazione di stato matriciale, perdo informazioni, ad esempio tutte le parti non raggiungibili o osservabili del sistema non contribuiscono alla funzione di trasferimento, e circa la stabilità del sistema una condizione iniziale non nulla potrebbe portare lo stato del sistema e/o l'uscita a divergere, se queste parti sono instabili anche se la funzione di trasferimento dice il contrario!

Supponendo che quello coincida con la rappresentazione di stato, dunque nessuna parte nascosta, allora avrei \( \displaystyle \dot x = 10^{-6} x + u \) e \( \displaystyle w = 10^{-7}x \) , quindi l'uscita libera del sistema è data da \( \displaystyle w_l(t) = 10^{-7} x(0) e^{10^{-6}t} \) , alla fine i conti sono gli stessi, dato che la condizione iniziale risulterebbe ininfluente (dato che il sistema è lineare!).

Quindi interpretando \( \displaystyle W(s) \) come sistema, e supponendo che non vi siano parti nascoste, allora avrebbe senso studiare la parte libera (che potrebbe essere ragionevole nel contesto).