AIUTO.Funzione prolungabile con continuità con parametri

[21zuclo]

Questo esercizio l'ho svolto ma arrivo ad un punto che non so più andare avanti. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo.

Al variare dei parametri reali strettamente positivi \(\displaystyle (a,b) \) si consideri la funzione reale di variabile reale

\(\displaystyle f_{a,b}(x)= \) \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{\frac{{{{e}}^{{{\sqrt[{{3}}]{{{1}+{2}{x}}}}}}-{e}}}{{x}}\\{a}{\left({{\ln{{\left({\left({\cosh{{x}}}\right)}\right)}}}}^{{{b}}}\right)}{\ln{{\left({\cosh{{\left(\frac{{1}}{{x}}\right)}}}\right)}}}}\right.} \)

la prima se è \(\displaystyle x<0 \) la seconda se è \(\displaystyle x>0 \)

Stabilire per quali coppie \(\displaystyle (a,b) \) la funzione \(\displaystyle f_{a,b} \) è prolungabile con continuità nell'origine.

SVOLGIMENTO

ho calcolato il primo limite cioè

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^-} \frac{e^{\sqrt[3]{1+2x}}-e}{x}=\lim_{x\rightarrow0^-} \frac{e\left(\frac{2}{3}x\right)}{x}=e\frac{2}{3} \)

ora ho problemi con il secondo limite e cioè con

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+} a\left(\ln(\cosh(x))\right)^b \ln(\cosh\left(\frac{1}{x}\right) \)

non mi fanno andare avanti le lettere \(\displaystyle a,b \)

[theras]

Ciao!
Solo una domanda,per iniziare senza intoppi:
ma è il logaritmo la base dell'esponente b,oppure il suo argomento?
Per disattenzione hai piazzato quella b in due punti diversi,oppure io ho problemi di visualizzazione:
saluti dal web.

[21zuclo]

io ho ricopiato il testo e sul testo è scritta così \( \displaystyle {a}{{\left({\ln{{\left({\cosh{{x}}}\right)}}}\right)}}^{{{b}}}{\ln{{\left({\cosh{{\left(\frac{{1}}{{x}}\right)}}}\right)}}} \)

ora ho proprio ricopiato pari pari al testo! e questa bisogna valutarla in \(\displaystyle x\rightarrow0^+ \)

[theras]

Ciao,e scusa il ritardo!
Bel casino quel limite,ma non demordiamo:
intanto direi che c'è modo d'intuire,tramite un limite notevole,la stima \( \displaystyle {{\log}}^{{b}}{\left({\cosh{{x}}}\right)}\sim\frac{{{\left({{e}}^{{x}}-{1}\right)}}^{{{2}{b}}}}{{{{2}}^{{b}}{{e}}^{{{b}{x}}}}} \),
e che altresì \( \displaystyle {\log{{\left[{\cosh{{\left(\frac{{1}}{{x}}\right)}}}\right]}}}\sim\frac{{1}}{{x}} \)(ovviamente in ambo i casi per \( \displaystyle {x}\to{{0}}^{+} \))..
A quel punto dici bene che si tratterà di risolvere l'equazione,un pò sui generis,\( \displaystyle \lim_{{{x}\to{{0}}^{+}}}{a}\frac{{1}}{{x}}\frac{{{\left({{e}}^{{x}}-{1}\right)}}^{{{2}{b}}}}{{{{2}}^{{b}}{{e}}^{{{b}{x}}}}}=\frac{{2}}{{3}}{e} \),
che scriviamo nella più conveniente forma \( \displaystyle \lim_{{{x}\to{{0}}^{+}}}{a}\frac{{{{e}}^{{x}}-{1}}}{{x}}\frac{{{\left({{e}}^{{x}}-{1}\right)}}^{{{2}{b}-{1}}}}{{{{2}}^{{b}}{{e}}^{{{b}{x}}}}}=\frac{{2}}{{3}}{e} \);
è evidente come,affinchè essa sia risolubile,condizione necessaria è che \( \displaystyle {b}=\frac{{1}}{{2}} \)
(altrimenti avresti che \( \displaystyle \frac{{2}}{{3}}{e}={0} \) oppure \( \displaystyle \frac{{2}}{{3}}{e}=\infty \)!),
e dunque per la ottemperare alla richiesta iniziale occorrerà accoppiare tal valore di b agli eventuali valori di a t.c
\( \displaystyle \frac{{a}}{{{{2}}^{{\frac{{1}}{{2}}}}}}=\frac{{2}}{{3}}{e}\cdots \):
mi pare che il discorso fili senza intoppi,
ma se hai la soluzione mi piacerebbe che me lo confermassi risparmiandomi verifiche "brute".
Saluti dal web.

[21zuclo]

sì il risultato dovrebbe essere giusto, ma non mi è chiaro questo tuo passaggio

\(\displaystyle \ln^b (\cosh x)\sim\frac{(e^x-1)^{2b}}{2^be^{bx}} \)

solamente questo non mi è chiaro il resto l'ho capito!..

il \(\displaystyle \cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2} \)

[theras]

Prova ad esplicitare rispetto a t l'uguaglianza \( \displaystyle {\log{{\left({1}+{t}\right)}}}={\log{{\left(\frac{{{{e}}^{{x}}+{{e}}^{{-{x}}}}}{{2}}\right)}}} \),
e poi fà scomparire quell'addendo \( \displaystyle {{e}}^{{-{x}}} \) in modo legittimo:
a quel punto ti basterà far un paio di conti e stimare l'infinitesimo \( \displaystyle {{\log}}^{{b}}{\left({1}+\cdots\right)} \).
Saluti dal web.

[ciampax]

theras, scusa se mi intrometto, ma non sarebbe più semplice ragionare così? Visto che \( \displaystyle {\cosh{{x}}}\sim{1}+\frac{{{x}}^{{2}}}{{2}} \) allora

\( \displaystyle {{\ln}}^{{b}}{\left({\cosh{{x}}}\right)}\sim{{\left[{\ln{{\left({1}+\frac{{{x}}^{{2}}}{{2}}\right)}}}\right]}}^{{b}}\sim\frac{{{x}}^{{{2}{b}}}}{{2}} \)

[21zuclo]

theras, scusa se mi intrometto, ma non sarebbe più semplice ragionare così? Visto che \( \displaystyle {\cosh{{x}}}\sim{1}+\frac{{{x}}^{{2}}}{{2}} \) allora

\( \displaystyle {{\ln}}^{{b}}{\left({\cosh{{x}}}\right)}\sim{{\left[{\ln{{\left({1}+\frac{{{x}}^{{2}}}{{2}}\right)}}}\right]}}^{{b}}\sim\frac{{{x}}^{{{2}{b}}}}{{2}} \)

sì è molto più semplice così grazie

[theras]

Ciao!

theras, scusa se mi intrometto, ma non sarebbe più semplice ragionare così? Visto che \( \displaystyle {\cosh{{x}}}\sim{1}+\frac{{{x}}^{{2}}}{{2}} \) allora

\( \displaystyle {{\ln}}^{{b}}{\left({\cosh{{x}}}\right)}\sim{{\left[{\ln{{\left({1}+\frac{{{x}}^{{2}}}{{2}}\right)}}}\right]}}^{{b}}\sim\frac{{{x}}^{{{2}{b}}}}{{2}} \)

Si certo,Ciampax!
"Intromissione" ovviamente ben accetta,per completezza e sintesi(e sopratutto perchè altrimenti che forum sarebbe?)
ma sai com'è:
mi son lanciato in questa campagna contro l'uso indiscriminato di Taylor ,
e lo consiglio solo quando s'è già in grado di far ragionamenti al limite come quello da me proposto..
Ieri a mezzanotte ero un pò stanco per cercare i precedenti post di Zuclo,
al fine di capire quanto fosse "elastico" il suo approccio ai limiti,
ed allora ho scelto la via dei limiti notevoli esponenziali per quella stima asintotica:
ho pensato che certo non gli avrebbe fatto male..
Saluti dal web.

[ciampax]

Mah, sinceramente, quel procedimento non fa uso di Taylor: è una semplice questione di confronti locali.