Aiuto funzioni implicite

[PoppoGBR]

Puoi però trovare uno sviluppo in serie che approssimi la funzione.

potresti dirmi come fare? non ho molto capito questo argomento....

come si fa lo sviluppo in serie? potresti dirmelo?

[Camillo]

Lo sviluppo di Taylor di una funzione \( \displaystyle {h}{\left({x}\right)} \) vale : \( \displaystyle {h}{\left({x}\right)}={h}{\left({0}\right)}+{h}'{\left({0}\right)}\cdot{x}+{h}{''}{\left({0}\right)}\cdot\frac{{{x}}^{{2}}}{{2}}+{o}{\left({{x}}^{{2}}\right)} \) .
Se hai calcolato i valori di \( \displaystyle {h}'{\left({0}\right)},{h}{''}{\left({0}\right)} \) li puoi inserire nella formula di Taylor e ottenere una approssimazione locale della funzione.

Mentre la formula data da miuemia per calcolare \( \displaystyle {h}'{\left({0}\right)} \) è senz'altro corretta , quella per ottenere \( \displaystyle {h}{''}{\left({0}\right)} \) non mi sembra giusta.

[miuemia]

si si c'era una \( \displaystyle {y} \) di troppo... \( \displaystyle {{h}}^{{{''}}}{\left({0}\right)}=-{\left(\frac{{{F}_{{{x}{x}}}{\left({0},{0}\right)}}}{{{F}_{{{y}}}{\left({0},{0}\right)}}}\right)} \)

[Camillo]

La formula più generale per ottenere la derivata seconda di \( \displaystyle {h}{\left({x}\right)} \) è:

\( \displaystyle {h}{''}{\left({x}\right)}=\frac{{{\left({F}_{{\times}}\right)}-{{\left[{h}'\right]}}^{{2}}{F}_{{{y}{y}}}}}{{F}_{{y}}} \) ; \( \displaystyle {F}_{{\times}} \) da intendersi derivata seconda rispetto ad x ( per ragioni incomprensibili non prende la doppia x ).

e \( \displaystyle {h}'{\left({x}\right)}=-\frac{{F}_{{x}}}{{F}_{{y}}} \)

Nel caso dell'esercizio \( \displaystyle {F}_{{x}}{\left({0},{0}\right)}={0};{F}_{{y}}{\left({0},{0}\right)}=-{1} \) quindi \( \displaystyle {h}'{\left({0}\right)}={0} \)
\( \displaystyle {F}_{\times}{\left({0},{0}\right)}=-{1};{F}_{{{y}{y}}}{\left({0},{0}\right)}=-{4};{h}'{\left({0}\right)}={0} \) e pertanto \( \displaystyle {h}{''}{\left({0}\right)}={1} \) . stessa nota di sopra , derivata seconda rispetto ad x .

Ne segue che \( \displaystyle {h}{\left({x}\right)}=\frac{{{x}}^{{2}}}{{2}}+{o}{\left({{x}}^{{2}}\right)} \) .