Aiuto massimi e minimi assoluti di una funzione

[PoppoGBR]

Come hai fatto a trovare quei punti? Io intendevo questo

\( \displaystyle {f{{\left({x},{y}\right)}}}={\left\lbrace\matrix{\text{arctg}{\left({3}{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}-{2}{x}{y}-{x}+{2}{y}+{1}\right)}&\text{se }\ {x}\ge{2}{y}\text{&}{\left({x}&{y}\right)}\in{A}\\\text{arctg}{\left({3}{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}-{2}{x}{y}-{2}{y}+{x}+{1}\right)}&\text{se }\ {x}\lt{2}{y}\text{&}{\left({x}&{y}\right)}\in{A}}\right.} \)

dove \( \displaystyle {A} \) è il dominio.

per trovare i punti ho fatto le derivate parziali rispetto a x e y e poi ho messo a sistema....in questo modo ho trovato i punti critici.

[Tipper]

Ah, erano già i punti critici. Avevo capito un'altra cosa... Scriveresti anche come ti vengono le derivate parziali? Dopo ti resta da restringere la funzione alla frontiera del dominio.

[PoppoGBR]

Ah, erano già i punti critici. Avevo capito un'altra cosa... Scriveresti anche come ti vengono le derivate parziali? Dopo ti resta da restringere la funzione alla frontiera del dominio.

le derivate parziale vengono enormi....adesso le scrivo
per il modulo \( \displaystyle {x}\ge{2}{y} \)

\( \displaystyle {f{'}}{x}=\frac{{{6}·{x}-{2}·{y}-{1}}}{{{9}·{{x}}^{{4}}-{6}·{{x}}^{{3}}·{\left({2}·{y}+{1}\right)}+{{x}}^{{2}}·{\left({10}·{{y}}^{{2}}+{16}·{y}+{7}\right)}-{2}·{x}·{\left({{y}}^{{2}}+{2}·{y}+{1}\right)}·{\left({2}·{y}+{1}\right)}+{{y}}^{{4}}+{4}·{{y}}^{{3}}+{6}·{{y}}^{{2}}+{4}·{y}+{2}}} \)

\( \displaystyle {f{'}}{y}=\frac{{-{2}{x}+{2}{y}+{2}}}{{{9}·{{x}}^{{4}}-{6}·{{x}}^{{3}}·{\left({2}·{y}+{1}\right)}+{{x}}^{{2}}·{\left({10}·{{y}}^{{2}}+{16}·{y}+{7}\right)}-{2}·{x}·{\left({2}{{y}}^{{3}}+{5}·{{y}}^{{2}}+{4}{y}+{1}\right)}+{{y}}^{{4}}+{4}·{{y}}^{{3}}+{6}·{{y}}^{{2}}+{4}·{y}+{2}}} \)

per il modulo \( \displaystyle {x}\lt{2}{y} \)

\( \displaystyle {f{'}}{x}=\frac{{{6}·{x}-{2}·{y}+{1}}}{{{9}·{{x}}^{{4}}+{6}·{{x}}^{{3}}·{\left(-{2}·{y}+{1}\right)}+{{x}}^{{2}}·{\left({10}·{{y}}^{{2}}-{16}·{y}+{7}\right)}+{2}·{x}·{\left({{y}}^{{2}}-{2}·{y}+{1}\right)}·{\left(-{2}·{y}+{1}\right)}+{{y}}^{{4}}-{4}·{{y}}^{{3}}+{6}·{{y}}^{{2}}-{4}·{y}+{2}}} \)

\( \displaystyle {f{'}}{y}=\frac{{-{2}{x}+{2}{y}-{2}}}{{{9}·{{x}}^{{4}}+{6}·{{x}}^{{3}}·{\left(-{2}·{y}+{1}\right)}+{{x}}^{{2}}·{\left({10}·{{y}}^{{2}}-{16}·{y}+{7}\right)}-{2}·{x}·{\left({2}{{y}}^{{3}}-{5}·{{y}}^{{2}}+{4}{y}-{1}\right)}+{{y}}^{{4}}-{4}·{{y}}^{{3}}+{6}·{{y}}^{{2}}-{4}·{y}+{2}}} \)

dopo mi fai vedere che devo fare?

[Tipper]

Azz... bisognerebbe vedere se la funzione è derivabile in \( \displaystyle {x}={2}{y} \), facendo ad esempio i limiti per \( \displaystyle {\left({x},{y}\right)}\to{\left({2}{y}_{{0}},{y}_{{0}}\right)} \) delle derivate parziali ottenute per \( \displaystyle {x}\lt{2}{y} \) e \( \displaystyle {x}\gt{2}{y} \)...

[PoppoGBR]

Azz... bisognerebbe vedere se la funzione è derivabile in \( \displaystyle {x}={2}{y} \), facendo ad esempio i limiti per \( \displaystyle {\left({x},{y}\right)}\to{\left({2}{y}_{{0}},{y}_{{0}}\right)} \) delle derivate parziali ottenute per \( \displaystyle {x}\lt{2}{y} \) e \( \displaystyle {x}\gt{2}{y} \)...

così complesso è l'esercizio? pensavo fosse piu semplice...

[Tipper]

Non mi vorrei sbagliare, se così fosse bloccatemi, ma se la funzione non fosse derivabile lungo la retta \( \displaystyle {x}={2}{y} \), tutti i punti del tipo \( \displaystyle {\left({2}{y}_{{0}},{y}_{{0}}\right)} \) sarebbero candidati ad essere max o min assoluti, dal momento che non potrebbero essere trovati né azzerando il gradiente né studiando la funzione ristretta alla frontiera del dominio.

[PoppoGBR]

Non mi vorrei sbagliare, se così fosse bloccatemi, ma se la funzione non fosse derivabile lungo la retta \( \displaystyle {x}={2}{y} \), tutti i punti del tipo \( \displaystyle {\left({2}{y}_{{0}},{y}_{{0}}\right)} \) sarebbero candidati ad essere max o min assoluti, dal momento che non potrebbero essere trovati né azzerando il gradiente né studiando la funzione ristretta alla frontiera del dominio.

oddio..... ...sono nell confusione piu totale....nn sò proprio come andare avanti.

[PoppoGBR]

potresti aiutarmi invece inquesto esercizio? l'ho postato qui....

http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=22235

[Piera]

Tutte le volte che si devono trovare i punti di massimo o di minimo di una funzione del tipo \( \displaystyle {y}={a}{r}{c}{t}{g{{\left[{g{{\left({x}\right)}}}\right]}}} \), si può studiare \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}} \) dato che la funzione \( \displaystyle {y}={a}{r}{c}{t}{g{{x}}} \) è crescente.
Dunque per lo studio di
\( \displaystyle {f{{\left({x},{y}\right)}}}={a}{r}{c}{t}{g{{\left({3}{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}-{2}{x}{y}-{\left|{x}-{2}{y}\right|}+{1}\right)}}} \)
si può considerare quello di
\( \displaystyle {g{{\left({x},{y}\right)}}}={3}{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}-{2}{x}{y}-{\left|{x}-{2}{y}\right|}+{1} \).

[PoppoGBR]

Tutte le volte che si devono trovare i punti di massimo o di minimo di una funzione del tipo \( \displaystyle {y}={a}{r}{c}{t}{g{{\left[{g{{\left({x}\right)}}}\right]}}} \), si può studiare \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}} \) dato che la funzione \( \displaystyle {y}={a}{r}{c}{t}{g{{x}}} \) è crescente.
Dunque per lo studio di
\( \displaystyle {f{{\left({x},{y}\right)}}}={a}{r}{c}{t}{g{{\left({3}{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}-{2}{x}{y}-{\left|{x}-{2}{y}\right|}+{1}\right)}}} \)
si può considerare quello di
\( \displaystyle {g{{\left({x},{y}\right)}}}={3}{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}-{2}{x}{y}-{\left|{x}-{2}{y}\right|}+{1} \).

ho capito....però io sono in completa confusione su quale sia il metodo per trovare i massimi e minimi assoluti....quelli relativi li sò trovare ma quelli assoluti non so proprio come si trovino.