Aiuto massimi e minimi assoluti di una funzione

[Piera]

Devi trovare tutti i massimi e minimi della funzione \( \displaystyle {g{{\left({x},{y}\right)}}}={3}{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}-{2}{x}{y}-{\left|{x}-{2}{y}\right|}+{1} \) nel rettangolo.
Supponi di trovare:
(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1),
calcola \( \displaystyle {g{{\left({0},{0}\right)}}},{g{{\left({1},{0}\right)}}},{g{{\left({0},{1}\right)}}},{g{{\left(-{1},{1}\right)}}} \)
il valore più grande sarà il massimo assoluto e quello più piccolo il minimo assoluto di \( \displaystyle {g{{\left({x},{y}\right)}}} \).
Infine, per trovare il massimo e il minimo assoluti di \( \displaystyle {f{{\left({x},{y}\right)}}} \) basta calcolare \( \displaystyle {a}{r}{c}{t}{g{{\left[{g{{\left({x},{y}\right)}}}\right]}}} \).

[PoppoGBR]

Devi trovare tutti i massimi e minimi della funzione \( \displaystyle {g{{\left({x},{y}\right)}}}={3}{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}-{2}{x}{y}-{\left|{x}-{2}{y}\right|}+{1} \) nel rettangolo.
Supponi di trovare:
(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1),
calcola \( \displaystyle {g{{\left({0},{0}\right)}}},{g{{\left({1},{0}\right)}}},{g{{\left({0},{1}\right)}}},{g{{\left(-{1},{1}\right)}}} \)
il valore più grande sarà il massimo assoluto e quello più piccolo il minimo assoluto di \( \displaystyle {g{{\left({x},{y}\right)}}} \).
Infine, per trovare il massimo e il minimo assoluti di \( \displaystyle {f{{\left({x},{y}\right)}}} \) basta calcolare \( \displaystyle {a}{r}{c}{t}{g{{\left[{g{{\left({x},{y}\right)}}}\right]}}} \).

grazie mille....adesso mi potresti aiutare in un altro esercizio che ho postato in un altro post. il link sta nella pagina precendente

[boanini]

Salve a tutti, ho questo esercizio, Determinare massimi e minimi assoluti della funzione \( \displaystyle f(x,y)=(x-1)^2-y^2 \) soggetta al vincolo \( \displaystyle V=(x,y) \in R^2 | x^2+y^2=1 \)

io ho proceduto a risloverla con i moltiplicatori di lagrange cosi \( \displaystyle L=f(x,y)+\lambda g(x,y)=(x-1)^2-y^2+ \lambda ( x^2+y^2-1)=x^2+1-2x-y^2++ \lambda \)
a questo punto mi sono fatto le derivate parziali rispetto a x y e lambda
\( \displaystyle L'_x=2x-2+2 \lambda x \)
\( \displaystyle L'_y=-2y+2 \lambda y \)
\( \displaystyle L'_\lambda=x^2+y^2-1 \)
poi dovrei risolvere il sistema per trovare i valori di x y e lambda, quindi i punti di max e min assoluti, giusto?
ma non riesco

[Walkerboh86]

guarda....non so se sia giusto.....ma facendolo così su due piedi mi son venuti i seguenti punti critici:
(1,0) e (-1,0) per la condizione sulla y, e poi (1/2, \( \displaystyle \frac{\sqrt{{{3}}}}{{2}} \) ) e (1/2,- \( \displaystyle \frac{\sqrt{{{3}}}}{{2}} \) ) per quella sulla x.....se son giusti dovresti inserirli nella tua funzione e poi vedere se son max o min......è questo l'esercizio del messaggio privato?

[boanini]

si era questo, ma il sistema delle tre derivate parziali che ho scritto va bene?

[Walkerboh86]

Da quel che so dovrebbe esserci il segno meno quando moltiplichi per lambda...quindi per esempio dovrebbe essere per la x: 2x-2-2x*lambda (non so come far venir fuori la lettera lamda...scusa)......e così anche per la y......

[gugo82]

@boanini: Potresti usare il metodo grafico con le curve di livello per interpretare ciò che viene fuori dai conti con la lagrangiana.

Il vincolo è la circonferenza \( \displaystyle \Gamma \) di centro \( \displaystyle (0,0) \) e raggio \( \displaystyle 1 \) .
Le curve di livello di \( \displaystyle f \) , ossia le curve d'equazione \( \displaystyle f(x,y)=k \) (con \( \displaystyle k\in \mathbb{R} \) ), sono le iperboli del fascio:

\( \displaystyle (x-1)^2-y^2=k \)

per \( \displaystyle k\neq 0 \) , oppure la coppia di rette:

\( \displaystyle (x-1+y)\ (x-1-y)=0 \)

per \( \displaystyle k=0 \) .
Disegnamole:

        Internet Explorer richiede Adobe SVG Viewer per visualizzare il grafico

La freccia magenta indica il verso dei valori crescenti del parametro \( \displaystyle k \) ; in blu le curve di livello corrispondenti ai \( \displaystyle k<0 \) , in nero le due rette corrispondenti a \( \displaystyle k=0 \) ed in rosso le curve corrispondenti ai \( \displaystyle k>0 \) ; in verde il vincolo.

Si vede che esistono \( \displaystyle k_1<0k_2 \) le curve di livello non intersecano il vincolo; per \( \displaystyle k_1Quindi i punti di tangenza dell'iperbole \( \displaystyle (x-1)^2-y^2=k_1 \) col vincolo sono punti di minimo assoluto ed il valore \( \displaystyle k_1 \) è il minimo di \( \displaystyle f \) sul vincolo; viceversa il punto di tangenza dell'iperbole \( \displaystyle (x-1)^2-y^2=k_2 \) col vincolo è un punto di massimo assoluto ed il valore \( \displaystyle k_2 \) è il massimo di \( \displaystyle f \) sul vincolo.

Ad occhio si vede che \( \displaystyle k_2=2 \) , mentre il valore di \( \displaystyle k_1 \) si trova con un po' di conti e, se non erro, è \( \displaystyle k_1=-\frac{1}{2} \) .
I punti di tangenza con l'iperbole \( \displaystyle (x-1)^2-y^2=k_1 \) sono \( \displaystyle (\pm \tfrac{1}{2} ,\tfrac{\sqrt{3}}{2}) \) e sono di minimo assoluto; il punto di tangenza sull'iperbole \( \displaystyle (x-1)^2-y^2=k_2 \) è \( \displaystyle (-1,0) \) ed è di massimo assoluto.

[boanini]

grazie gugo per la esauriente risposta...ma, un metodo piu veloce per arrivare a quei due risultati?
Perche all esame avendo solo un ora di tempo e dovendo fare 11 esercizi, parte troppo tempo a fare tutto quello studio