Aiuto massimi e minimi assoluti di una funzione

[PoppoGBR]

salve, sabato ho l'esame di matematica 2 e vorrei chiedervi come si fa questo tipo di esercizio:

TROVARE IL MASSIMO E IL MINIMO (ASSOLUTI) DELLA FUNZIONE

\( \displaystyle {f{{\left({x},{y},\right)}}}={a}{r}{c}{t}{g{{\left({3}{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}-{2}{x}{y}-{\left|{x}-{2}{y}\right|}+{1}\right)}}} \)

NEL RETTANGOLO CHE HA VERTICI NEI PUNTI:

\( \displaystyle {\left({4},{2}\right)}{\left({4},-{2}\right)}{\left(-{4},-{2}\right)}{\left(-{4},{2}\right)} \)

mi fate vedere i passaggi che devo eseguire?

[Tipper]

La funzione è continua, il dominio è compatto, le ipotesi del Teorema di Weierstrass sono soddisfatte. Per prima cosa cerchi i punti critici, e consideri quelli appartenenti al dominio. Poi cerchi i punti di non derivabilità della funzione, se ce ne sono. Dopodiché ti restringi alla frontiera, un lato del rettangolo alla volta, e trovi i max/min della funzione in una variabile che ottieni. Ai punti che hai trovato fino ad adesso aggiungi anche i quattro vertici del rettangolo.
Fatto questo ti calcoli il valore della funzione nei punti trovati. Il valore più grande è il massimo assoluto, il valore più piccolo è il minimo assoluto.

[PoppoGBR]

grazie di tutto...però in una spiegazione cosi...mi sono un po perso....non è che mi potresti far vedere.

[Tipper]

Puoi seguire punto per punto quello che ti ho detto, iniziare a fare i conti, e chiedere dove trovi difficoltà.

[PoppoGBR]

per prima cosa trovo i punti critici...quindi faccio la derivata rispetto a x e poi rispetto a y e metto a sistema per trovare i punti critici...ok? come faccio a vedere quale sia il dominio dell'arcotangente? e i punti di non derivabilità?

[Tipper]

L'arcotangente è definita dove è definito il suo argomento, che in questo caso è un polinomio, dunque ovunque. Comunque, in questo caso, il dominio già c'è, ed è il rettangolo.
Intanto spezza il valore assoluto e calcola le derivate, poi si vede dove è derivabile.

[PoppoGBR]

L'arcotangente è definita dove è definito il suo argomento, che in questo caso è un polinomio, dunque ovunque. Comunque, in questo caso, il dominio già c'è, ed è il rettangolo.
Intanto spezza il valore assoluto e calcola le derivate, poi si vede dove è derivabile.

in che senso spezzo il valore assoluto? calcolo la derivata con il modulo positivo e poi negativo?

[Tipper]

\( \displaystyle {\left|{x}-{2}{y}\right|}={\left\lbrace\matrix{{x}-{2}{y}&\text{se }\ {x}\ge{2}{y}\\{2}{y}-{x}&\text{se }\ {x}\lt{2}{y}}\right.} \)

[PoppoGBR]

\( \displaystyle {\left|{x}-{2}{y}\right|}={\left\lbrace\matrix{{x}-{2}{y}&\text{se }\ {x}\ge{2}{y}\\{2}{y}-{x}&\text{se }\ {x}\lt{2}{y}}\right.} \)

ho trovato i punti:

per il modulo >0 \( \displaystyle {x}=-\frac{{1}}{{4}}{y}=-\frac{{5}}{{4}} \)

per il modulo <0 \( \displaystyle {x}=\frac{{1}}{{4}}{y}=\frac{{5}}{{4}} \)

sempre se non mi sono sbagliato.
poi calcolo i massimi e minimi relativi?

[Tipper]

Come hai fatto a trovare quei punti? Io intendevo questo

\( \displaystyle {f{{\left({x},{y}\right)}}}={\left\lbrace\matrix{\text{arctg}{\left({3}{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}-{2}{x}{y}-{x}+{2}{y}+{1}\right)}&\text{se }\ {x}\ge{2}{y}\text{&}{\left({x}&{y}\right)}\in{A}\\\text{arctg}{\left({3}{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}-{2}{x}{y}-{2}{y}+{x}+{1}\right)}&\text{se }\ {x}\lt{2}{y}\text{&}{\left({x}&{y}\right)}\in{A}}\right.} \)

dove \( \displaystyle {A} \) è il dominio.