SNS 98/99 Radici di polinomio

[Paolo90]

Buongiorno a tutti..

Sono qui perchè avrei bisogno di un piccolo aiuto nella seguente dimostrazione. E' un quesito tratto dall'esame di ammissione alla Normale dell' a.a. 1998 - 1999. (per chi fosse interessato qui è possibile scaricare il pdf con tutte le prove di ingresso dal 1960 http://download.sns.it/proveesame/matm_all.pdf).
Ma veniamo a noi:

"Dati due interi pari \( \displaystyle {m} \) e \( \displaystyle {n} \) con \( \displaystyle {m}\lt{n} \) dimostrare che se \( \displaystyle {k} \) è un reale tale che

\( \displaystyle {k}\gt\frac{{{{m}}^{{2}}+{{n}}^{{2}}}}{{2}} \)

allora il polinomio

\( \displaystyle {p}{\left({x}\right)}={\left({{x}}^{{2}}+{k}\right)}{\left({x}-{m}\right)}{\left({x}-{n}\right)}+{1} \)

ha due radici reali e due non reali."

Sul fatto che il polinomio abbia quattro radici in totale non ci sono dubbi (ce lo assicura il teorema fondamentale dell'algebra). Ma come dimostrare la tesi???

Vi scongiuro... help!!!!!!

Grazie mille e perdonate ancora una volta la mia ignoranza.... Pol

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Calcolati la derivata seconda \( \displaystyle {p}{''}{\left({x}\right)} \). Mostra che \( \displaystyle {p}{''}{\left({x}\right)}\gt{0} \) per ogni \( \displaystyle {x}\in\mathbb{R} \). E infine mostra che \( \displaystyle {p}{\left({a}\right)}\lt{0} \) per qualche \( \displaystyle {a}\in\mathbb{R} \) (ad esempio, per \( \displaystyle {a}=\frac{{{m}+{n}}}{{2}} \)). Da questi fatti segue che \( \displaystyle {p}{\left({x}\right)} \) ha esattamente due radici reali

[Paolo90]

perdonami fields ma non credo di aver capito bene.

Calcolati la derivata seconda \( \displaystyle {p}{''}{\left({x}\right)} \). Mostra che \( \displaystyle {p}{''}{\left({x}\right)}\gt{0} \) per ogni \( \displaystyle {x}\in\mathbb{R} \).

Ok, d'accordo faccio la derivata seconda: ottengo (derivando rispetto ad \( \displaystyle {x} \))

\( \displaystyle {12}{{x}}^{{2}}-{6}{\left({m}+{n}\right)}{x}+{2}{k}+{2}{m}{n} \)

(sperando di non aver combinato pasticci). Ora come faccio a mostrare che \( \displaystyle {p}{''}{\left({x}\right)}\gt{0} \) per ogni \( \displaystyle {x}\in\mathbb{R} \) ? La disequazione è di secondo grado ma è parametrica. Come stabilisco quale soluzione è maggiore e quale minore?

Grazie ancora.

[codino75]

potresti provare a vedere come e' fatto il delta, anche se non ho fatto i conti.

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Esatto, calcoli il delta e mostri che è minore di zero. I calcoli sono banali.

[Luca.Lussardi]

Mi piacerebbe vedere la dimostrazione del metodo suggerito da fields (che è comunque corretto)....

[Paolo90]

Mi spiego meglio: risolvendo l'equazione \( \displaystyle {p}{''}{\left({x}\right)}={0} \) trovo

\( \displaystyle {x}_{{{1},{2}}}=\frac{{{3}{n}+{3}{m}\pm\sqrt{{{9}{{m}}^{{2}}+{9}{{n}}^{{2}}-{6}{m}{n}-{24}{k}}}}}{{12}} \)

Sinceramente non so come fare a stabilire delta < 0 . Ho tre variabili!!

Scusate ancora forse è cretina come cosa ma proprio non ci arrivo.... grazie

[Luca.Lussardi]

Prova a utilizzare l'unica ipotesi che hai su \( \displaystyle {k} \)....

[Paolo90]

\( \displaystyle {\left({9}{{m}}^{{2}}+{9}{{n}}^{{2}}-{6}{m}{n}-{24}{k}\right)} \)

So che \( \displaystyle {k}\gt\frac{{{{m}}^{{2}}+{{n}}^{{2}}}}{{2}} \) da cui segue \( \displaystyle {2}{k}\gt{\left({{m}}^{{2}}+{{n}}^{{2}}\right)} \). Questo significa che \( \displaystyle {\left({9}{{m}}^{{2}}+{9}{{n}}^{{2}}-{24}{k}\right)}\lt{0} \) o è una conclusione affrettata?

Grazie mille Luca.. sempre gentile e disponibile.. grazie anche a tutti voi..

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La conclusione è giusta, ma ti manca un pezzo... E' così che va:

Poiché \( \displaystyle {k}\gt\frac{{{{m}}^{{2}}+{{n}}^{{2}}}}{{2}} \)

\( \displaystyle {9}{{m}}^{{2}}+{9}{{n}}^{{2}}-{6}{m}{n}-{24}{k}\lt{9}{{m}}^{{2}}+{9}{{n}}^{{2}}-{6}{m}{n}-{24}\frac{{{{m}}^{{2}}+{{n}}^{{2}}}}{{2}}=-{3}{{\left({n}+{m}\right)}}^{{2}}\le{0} \)