Aiuto Polinomi

[ant.py]

ciao a tutti

vorrei aiuto per quanto riguarda 3 esercizi, che ora vi propongo

1) Sia \( \displaystyle {p}{\left({x}\right)}={{x}}^{{20}}+{a}_{{19}}{{x}}^{{19}}+{a}_{{18}}{{x}}^{{18}}+\ldots+{a}_{{1}}{x}+{a}_{{0}} \) un polinomio, con gli \( \displaystyle {a}_{{i}} \) interi. Sappiamo che per tutti gli interi \( \displaystyle {k} \) compresi fra 1 e 20, \( \displaystyle {p}{\left({k}\right)}={2}{k} \). Quali sono le ultime tre cifre di \( \displaystyle {p}{\left({21}\right)} \)?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

ecco quello che ho fatto (poco): \( \displaystyle {p}{\left({21}\right)}\ne{42} \), altrimenti \( \displaystyle {p}{\left({x}\right)} \) sarebbe di primo grado ed è impossibile. inoltre la somma di tutti i coefficienti è pari a 1 \( \displaystyle \sum{a}_{{i}}={1} \), dato che \( \displaystyle {p}{\left({1}\right)}={2} \). ora, come proseguo?

2) Sia \( \displaystyle {x} \) la più piccola delle due soluzioni dell'equazione \( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{4}{x}+{2}={0} \). Determinare le prime tre cifre dopo la virgola nella scrittura (in base 10) del numero \( \displaystyle {x}+{{x}}^{{2}}+{{x}}^{{3}}+\ldots+{{x}}^{{2009}} \).

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

la radice più piccola è \( \displaystyle {2}-{\sqrt[{{2}}]{{{2}}}} \). Come proseguo?

3) Sia \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)} \) in polinomio con coefficienti interi. Se \( \displaystyle {P}{\left({3}\right)}={5} \), e \( \displaystyle {P}{\left({{n}}^{{3}}\right)}={15} \) per un certo numero naturale \( \displaystyle {n} \), quali sono i possibili valori di \( \displaystyle {n} \)?

grazie a tutti

[xXStephXx]

Premetto che ho già visto tutti e tre questi problemi xD..

1) Il polinomio \( \displaystyle G(k) = P(k)-2k=0\ \ \ \forall \ 1\leq k \leq 20 \) .
Quindi per il teorema di Ruffini \( \displaystyle G(k) \) è scomponibile per tutte le sue radici (numeri da 1 a 20): ovvero è:
\( \displaystyle (k-1)(k-2)..(k-20) \) .
Quindi \( \displaystyle G(21)=20! \)
Dalla prima relazione risulta che \( \displaystyle P(k)=G(k)+2k \) Quindi \( \displaystyle P(21)=20!+42 \) . Le ultime 3 cifre di 20! sono sicuramente 000, per cui sommandoci 42 viene fuori come risultato \( \displaystyle 042 \) .

2)
Qua serve la formula per fare la somma delle potenze di un numero da 0 a k.
Che è \( \displaystyle \frac{n^{k+1}-1}{n-1} \) (A questo punto prova a continuare tu).

3)

Il polinomio è del tipo:
\( \displaystyle a(x-3)P_1(x) +5 \)
Quindi
\( \displaystyle a(n^3-3)P_1(n^3) = 10 \)
Detto ciò i possibili valori \( \displaystyle (n^3-3) \) vanno scelti tra: \( \displaystyle \{\pm 10,\pm 5, \pm 2, \pm 1\} \) .
\( \displaystyle \pm 10 \) non va bene perchè \( \displaystyle n^3 \) dovrebbe essere 13 o -7 che non sono cubi.
Da 5 ricavo che \( \displaystyle n^3=8 \) . Quindi \( \displaystyle n=2 \) è un possibile valore.
-5 non va bene perchè n dovrebbe essere -2 che non è cubo.
2 non va bene per motivi analoghi, mentre da -2 ricavo \( \displaystyle n^3 = 1 \) quindi \( \displaystyle n=1 \) che è un altro valore possibile.
\( \displaystyle \pm 1 \) non va bene e si verifica come ho fatto sopra.


Se vai sull'oliforum ne trovi a bizzeffe di problemi del genere.. Anzi.. probabilmente sono presi da là.

[ant.py]

Premetto che ho già visto tutti e tre questi problemi xD..

1) Il polinomio \( \displaystyle G(k) = P(k)-2k=0\ \ \ \forall \ 1\leq k \leq 20 \) .
Quindi per il teorema di Ruffini \( \displaystyle G(k) \) è scomponibile per tutte le sue radici (numeri da 1 a 20): ovvero è:
\( \displaystyle (k-1)(k-2)..(k-20) \) .
Quindi \( \displaystyle G(21)=20! \)
Dalla prima relazione risulta che \( \displaystyle P(k)=G(k)+2k \) Quindi \( \displaystyle P(21)=20!+42 \) . Le ultime 3 cifre di 20! sono sicuramente 000, per cui sommandoci 42 viene fuori come risultato \( \displaystyle 042 \) .

cavolo, capito..quindi il trucco in questi casi è costruire un polinomio che si annulla, scomporlo e vedere cosa ne esce?

3)

Il polinomio è del tipo:
\( \displaystyle a(x-3)P_1(x) +5 \)
Quindi
\( \displaystyle a(n^3-3)P_1(n^3) = 10 \)
Detto ciò i possibili valori \( \displaystyle (n^3-3) \) vanno scelti tra: \( \displaystyle \{\pm 10,\pm 5, \pm 2, \pm 1\} \) .
\( \displaystyle \pm 10 \) non va bene perchè \( \displaystyle n^3 \) dovrebbe essere 13 o -7 che non sono cubi.
Da 5 ricavo che \( \displaystyle n^3=8 \) . Quindi \( \displaystyle n=2 \) è un possibile valore.
-5 non va bene perchè n dovrebbe essere -2 che non è cubo.
2 non va bene per motivi analoghi, mentre da -2 ricavo \( \displaystyle n^3 = 1 \) quindi \( \displaystyle n=1 \) che è un altro valore possibile.
\( \displaystyle \pm 1 \) non va bene e si verifica come ho fatto sopra.

di questo invece non ho capito quasi nulla.. non sono riuscito a capire nessun dei primi 3-4 passaggi

per il secondo ora vedo e ti dico

Se vai sull'oliforum ne trovi a bizzeffe di problemi del genere.. Anzi.. probabilmente sono presi da là.

ah grazie mille, vado a vedere

[xXStephXx]

Quella scomposizione si usa praticamente sempre negli esercizi di questo tipo.. Quindi quando il testo ti dice che il polinomio per una serie di valori è uguale a certi valori sai già cosa devi fare...

Nel 3) ho usato lo stesso metodo.
Se \( \displaystyle P(3)=5 \) , se a quel polinomio ci sottraggo 5, 3 risulta una sua radice pertanto è divisibile per (x-3). Solo che stavolta devo anche moltiplicare per \( \displaystyle a \) perchè \( \displaystyle a \) corrisponde al coefficiente del termine di grado massimo, nel caso di prima era \( \displaystyle 1 \) (polinomio monico), quindi era superfluo. Ma questa volta non sappiamo il coefficiente del termine di grado massimo quindi dobbiamo lasciare \( \displaystyle a \) con l'unica certezza che è un numero intero...
Quindi ricapitolando ho \( \displaystyle G(x) = P(x)-5 \) Pertanto (x-3) è radice.. Quindi: \( \displaystyle G(x)=a(x-3)P_1(x) \)
Mentre prima sapevamo il grado del polinomio e una volta scomposto avevamo la certezza che non c'erano altri fattori, (perchè veniva raggiunto il suo grado), ora non sappiamo il grado, quindi \( \displaystyle P_1(x) \) è il quoziente della divisione di G(x) diviso per a(x-3). (Anche qui il teorema di Ruffini ci assicura che G(x) è perfettamente divisibile per (x-3)).
Ora arriviamo a \( \displaystyle P(x) = G(x)+5 \) Ovvero \( \displaystyle P(x)=a(x-3)P_1(x) +5 \) .

Ora sostituiamo x con \( \displaystyle n^3 \) ed eguaglio a 15 come richiesto.
\( \displaystyle P(n^3)=a(n^3-3)P_1(n^3) +5 = 15 \)
\( \displaystyle P(n^3)=a(n^3-3)P_1(n^3) = 10 \)
I tre fattori sono tutti interi, perchè i coefficienti sono interi ed \( \displaystyle n^3 \) pure.. quindi non ci resta altro che provare tutte le terne moltiplicative di 10 sul fattore \( \displaystyle n^3-3 \) . E nel post di prima ho analizzato tutti i casi possibili.

[ant.py]

Quella scomposizione si usa praticamente sempre negli esercizi di questo tipo.. Quindi quando il testo ti dice che il polinomio per una serie di valori è uguale a certi valori sai già cosa devi fare...

è esattamente il tipo di cose che speravo saltassero fuori da questo post

Nel 3) ho usato lo stesso metodo.
Se \( \displaystyle P(3)=5 \) , se a quel polinomio ci sottraggo 5, 3 risulta una sua radice pertanto è divisibile per (x-3). Solo che stavolta devo anche moltiplicare per \( \displaystyle a \) perchè \( \displaystyle a \) corrisponde al coefficiente del termine di grado massimo, nel caso di prima era \( \displaystyle 1 \) (polinomio monico), quindi era superfluo. Ma questa volta non sappiamo il coefficiente del termine di grado massimo quindi dobbiamo lasciare \( \displaystyle a \) con l'unica certezza che è un numero intero...
Quindi ricapitolando ho \( \displaystyle G(x) = P(x)-5 \) Pertanto (x-3) è radice.. Quindi: \( \displaystyle G(x)=a(x-3)P_1(x) \)
Mentre prima sapevamo il grado del polinomio e una volta scomposto avevamo la certezza che non c'erano altri fattori, (perchè veniva raggiunto il suo grado), ora non sappiamo il grado, quindi \( \displaystyle P_1(x) \) è il quoziente della divisione di G(x) diviso per a(x-3). (Anche qui il teorema di Ruffini ci assicura che G(x) è perfettamente divisibile per (x-3)).
Ora arriviamo a \( \displaystyle P(x) = G(x)+5 \) Ovvero \( \displaystyle P(x)=a(x-3)P_1(x) +5 \) .

Ora sostituiamo x con \( \displaystyle n^3 \) ed eguaglio a 15 come richiesto.
\( \displaystyle P(n^3)=a(n^3-3)P_1(n^3) +5 = 15 \)
\( \displaystyle P(n^3)=a(n^3-3)P_1(n^3) = 10 \)
I tre fattori sono tutti interi, perchè i coefficienti sono interi ed \( \displaystyle n^3 \) pure.. quindi non ci resta altro che provare tutte le terne moltiplicative di 10 sul fattore \( \displaystyle n^3-3 \) . E nel post di prima ho analizzato tutti i casi possibili.

oook, perfetto.. dovrei aver capito tutto già che ci sei, hai qualche consiglio per cose di questo tipo? Libri da leggere, esercizi, o altro? Sto leggendo "Dispense di matematica olimpionica", da cui ho tratto questi esercizi, però forse qualcosa che mi dia idee generali sul come risolvere problemi di una determinata categoria (come hai fatto tu ora) mi servirebbe


per quanto riguarda il secondo esercizio, ottengo

\( \displaystyle \frac{{{{\left({2}-\sqrt{{{2}}}\right)}}^{{2010}}-{1}}}{{{2}-\sqrt{{{2}}}-{1}}} \)..ora, posso osservare che il numeratore è una differenza di quadrati, ma non credo porterebbe a grandi risultati.. osservo pure che

\( \displaystyle \lim_{{{n}\to\infty}}{{\left({2}-\sqrt{{{2}}}\right)}}^{{n}}={0} \), ma anche questo non credo serva a molto.. (cioè, se sostituiamo 0 al posto dell'espressione, ottengo \( \displaystyle \sqrt{{{2}}}+{1} \), ma è un approssimazione un po' esagerata, no?)

grazie mille

[xXStephXx]

Ai limiti non ci sono arrivato..
Comunque:
\( \displaystyle \frac{{{{\left({2}-\sqrt{{{2}}}\right)}}^{{2010}}-{1}}}{{{2}-\sqrt{{{2}}}-{1}}}-{1} \) (sottraggo 1, perchè con la formula conto anche \( \displaystyle {{n}}^{{0}} \) che è da escludere in questo caso).

Allora:

\( \displaystyle {{\left({2}-\sqrt{{{2}}}\right)}}^{{2010}} \) ha certamente moltissimi zeri dopo la virgola.. quindi sarà del tipo: 0.000.. ecc.. Dividerlo per \( \displaystyle {2}-\sqrt{{{2}}} \) equivale quasi a raddoppiarlo, ma rimangono lo stesso moltissimi zeri. Quindi è ininfluente ai nostri fini e lo posso eliminare.
Ora rimane:
\( \displaystyle -\frac{{1}}{{{2}-\sqrt{{{2}}}-{1}}}-{1} \)
Ovvero:
\( \displaystyle \frac{{1}}{{\sqrt{{{2}}}-{1}}}-{1} \)
Razionalizzando:
\( \displaystyle \frac{{\sqrt{{{2}}}+{1}}}{{{2}-{1}}}-{1} \)
\( \displaystyle \sqrt{{{2}}}+{1}-{1} \)
Ovvero: \( \displaystyle \sqrt{{{2}}} \)

Quindi devi prendere le prime 3 cifre dopo la virgola di \( \displaystyle \sqrt{{{2}}} \).

Come vedi ho ottenuto lo stesso risultato che hai ottenuto tu se avessi sottratto 1 (che corrispondeva al termine di zeresimo grado)..
Come ho scritto sopra, a scuola non sono arrivato ai limiti, quindi non ti saprei dire se di fatto abbiamo usato lo stesso metodo, ma può darsi pure che concettualmente abbiamo fatto la stessa cosa.

Per quanto riguarda i libri, purtroppo non penso che esistano cose fatte ad hoc... Ma la cosa da sottolineare è che fortunatamente è tutta e solo questione di pratica.. Più esercizi si fanno meglio è.. Io ad esempio tra logica, teoria dei numeri, algebra, combinatoria e geometria ho notato che la cosa in cui vado meglio è teoria dei numeri, però sono messo malissimo con la geometria.. Quindi credo che farò molti esercizi solo di geometria per tentare di rimediare con la pratica.. Poi secondo me geometria è anche quella più creativa, quindi mi dispiace rimanere indietro..

[ant.py]

si penso che concettualmente i metodi siano molto simili.. grazie mille

allora anche io mi metterò a fare un bel po' di esercizi

ps anche io sono messo molto male con geometria..peggio che con la teoria dei numeri, giusto per darti un idea

[xXStephXx]

Io in questi giorni sto vedendo le schede di Kangourou degli anni passati, perchè ci sono esercizi di geometria carini.. Ma la cosa di geometria che è veramente ostica sono i dimostrativi.. Quando provo a fare i dimostrativi di geometria delle provinciali non so proprio da dove partire.

Secondo me a pari livello, geometria è la più difficile..