propongo alcuni esercizi, tratti da esami di geometria uno degli anni precedenti nella facoltà di ingegneria elettronica ed edile
alcuni non mi sono chiari, altri sono completamente oscuri, su alcuni ho delle idee ma perplessità nel risultato
ne raccolgo qualcuno significativo, magari mi date una mano
date le rette r1[x=2+t/y=y/z=1-t] ed r2[y=0/x+y+z=0] determinare la retta passante per P(1,1,1) ortogonale ad r1 ed incidente r2
allora, per quel che ci ho capito io, non occorre andare a determinare piani, in quanto nello spazio per un punto passa solo una retta ortogonale ad un'altra data
sapendo che il vettore direttore di r1 si ricava banalmente e sapendo che il vettore direttore normale ad una retta è lo stesso di r1
mi scrivo la retta passante per il punto e perpendicolare ad r1, con la semplice formula dell'equazione parametrica di una retta in cui l,m,n saranno i parametri della retta perpendicolare, che poi sono quelli di r1, ed x0,y0,z0 le cordinate del punto P
fatto questo ho un'equazione parametrica, la porto in cartesia e la metto a sistema con la retta incidente
e poi, qualcosa non mi quadra, viene un sistema in cui apparentemente si trovano due valori di z, z=0 e z=2
qualcosa non va dove sbaglio, forse in qualcosa di elementare
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Alcuni esercizi d' esame
da mtx4 » 21/01/2010, 17:15
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da mistake89 » 21/01/2010, 17:24
Per piacere usa le formule, altrimenti non si capisce davvero nulla e diventa difficile aiutarti...
Comunque c'è un errore di fondo, nello spazio per un punto passano infinite rette perpendicolari ad un'altra retta!
Comunque c'è un errore di fondo, nello spazio per un punto passano infinite rette perpendicolari ad un'altra retta!
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da Camillo » 21/01/2010, 20:47
mistake89 ha scritto:Per piacere usa le formule, altrimenti non si capisce davvero nulla e diventa difficile aiutarti...
Comunque c'è un errore di fondo, nello spazio per un punto passano infinite rette perpendicolari ad un'altra retta!
Camillo
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da mtx4 » 22/01/2010, 16:25
correggo
date le rette r1 \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}={2}+{t}\\{y}={t}\\{z}={1}-{t}}\right.} \) ed r2 \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{y}={0}\\{x}+{y}+{z}={0}}\right.} \) determinare la retta passante per P(1,1,1) ortogonale ad r1 ed incidente r2
questo il testo, posto che non mi spiego come nello spazio ci siano infinite rette passanti per un punto e perpendicolari ad una data, non riesco a immaginarlo, cmq sia, come si risolve, è un esercizio che capita in tutti i compiti di esame della mia professoressa e su 80 ne passano solitamente 7-8, sono esercizi semplici ma non banali, per questo nascondono tranelli e io ci sono cascato
date le rette r1 \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}={2}+{t}\\{y}={t}\\{z}={1}-{t}}\right.} \) ed r2 \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{y}={0}\\{x}+{y}+{z}={0}}\right.} \) determinare la retta passante per P(1,1,1) ortogonale ad r1 ed incidente r2
questo il testo, posto che non mi spiego come nello spazio ci siano infinite rette passanti per un punto e perpendicolari ad una data, non riesco a immaginarlo, cmq sia, come si risolve, è un esercizio che capita in tutti i compiti di esame della mia professoressa e su 80 ne passano solitamente 7-8, sono esercizi semplici ma non banali, per questo nascondono tranelli e io ci sono cascato
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da mistake89 » 22/01/2010, 18:00
In questo caso io ragionerei analiticamente...
i parametri direttori di \( \displaystyle {r}_{{1}} \) sono \( \displaystyle {\left({1},{1},-{1}\right)} \) dalla teoria sappiamo che una retta è ortogonale ad un altra se \( \displaystyle {g{{\left({u},{v}\right)}}}={0} \) ove \( \displaystyle {g} \) è il prodotto scalare standard e \( \displaystyle {u} \) e \( \displaystyle {v} \) sono i parametri di direzione delle due rette. Quindi dalla condizione \( \displaystyle {g{{\left({\left({l},{m},{n}\right)}{\left({1},{1},-{1}\right)}\right)}}}={0} \) otteniamo \( \displaystyle {n}={l}+{m} \).
Imponiamo il passaggio per \( \displaystyle {P} \) ed otteniamo la nostra retta \( \displaystyle \frac{{{x}-{1}}}{{l}}=\frac{{{y}-{1}}}{{m}}=\frac{{{z}-{1}}}{{{l}+{m}}} \)
A questo punto consideriamo \( \displaystyle \pi \) piano che contenga la retta \( \displaystyle {r}_{{2}} \) e il punto \( \displaystyle {P} \). La retta cercata giacerà su questo piano, poiché due rette sono incidenti se sono complanari... mi costruisco il fascio di piani di asse \( \displaystyle {r}_{{2}} \) ed imponendo il passaggio per \( \displaystyle {P} \) ottengo il piano \( \displaystyle \pi:{x}-{2}{y}+{z}={0} \)
Ora per imporre che la retta cercata sia complanare a questo piano, poiché hanno il punto \( \displaystyle {P} \) in comune, ci basterà imporre la condizione di parallelismo tra piano e retta, cioè \( \displaystyle {a}{l}+{b}{m}+{c}{n}={0} \), quindi nella fattispecie... \( \displaystyle {l}-{2}{m}+{l}+{m}={0} \) da cui \( \displaystyle {m}={2}{l} \)
dalla relazione precedente, sostituendo otteniamo \( \displaystyle \frac{{{x}-{1}}}{{l}}=\frac{{{y}-{1}}}{{2}}{l}=\frac{{{z}-{1}}}{{{3}{l}}} \). Poichè i parametri direttori sono tutti proporzionali tra loro possiamo assegnare un valore arbitrario, ad esempio \( \displaystyle {1} \) ed otteniamo la retta cercata che ha equazioni \( \displaystyle \frac{{{x}-{1}}}{{1}}=\frac{{{y}-{1}}}{{2}}=\frac{{{z}-{1}}}{{3}} \)
Se hai dei dubbi chiedi pure...
i parametri direttori di \( \displaystyle {r}_{{1}} \) sono \( \displaystyle {\left({1},{1},-{1}\right)} \) dalla teoria sappiamo che una retta è ortogonale ad un altra se \( \displaystyle {g{{\left({u},{v}\right)}}}={0} \) ove \( \displaystyle {g} \) è il prodotto scalare standard e \( \displaystyle {u} \) e \( \displaystyle {v} \) sono i parametri di direzione delle due rette. Quindi dalla condizione \( \displaystyle {g{{\left({\left({l},{m},{n}\right)}{\left({1},{1},-{1}\right)}\right)}}}={0} \) otteniamo \( \displaystyle {n}={l}+{m} \).
Imponiamo il passaggio per \( \displaystyle {P} \) ed otteniamo la nostra retta \( \displaystyle \frac{{{x}-{1}}}{{l}}=\frac{{{y}-{1}}}{{m}}=\frac{{{z}-{1}}}{{{l}+{m}}} \)
A questo punto consideriamo \( \displaystyle \pi \) piano che contenga la retta \( \displaystyle {r}_{{2}} \) e il punto \( \displaystyle {P} \). La retta cercata giacerà su questo piano, poiché due rette sono incidenti se sono complanari... mi costruisco il fascio di piani di asse \( \displaystyle {r}_{{2}} \) ed imponendo il passaggio per \( \displaystyle {P} \) ottengo il piano \( \displaystyle \pi:{x}-{2}{y}+{z}={0} \)
Ora per imporre che la retta cercata sia complanare a questo piano, poiché hanno il punto \( \displaystyle {P} \) in comune, ci basterà imporre la condizione di parallelismo tra piano e retta, cioè \( \displaystyle {a}{l}+{b}{m}+{c}{n}={0} \), quindi nella fattispecie... \( \displaystyle {l}-{2}{m}+{l}+{m}={0} \) da cui \( \displaystyle {m}={2}{l} \)
dalla relazione precedente, sostituendo otteniamo \( \displaystyle \frac{{{x}-{1}}}{{l}}=\frac{{{y}-{1}}}{{2}}{l}=\frac{{{z}-{1}}}{{{3}{l}}} \). Poichè i parametri direttori sono tutti proporzionali tra loro possiamo assegnare un valore arbitrario, ad esempio \( \displaystyle {1} \) ed otteniamo la retta cercata che ha equazioni \( \displaystyle \frac{{{x}-{1}}}{{1}}=\frac{{{y}-{1}}}{{2}}=\frac{{{z}-{1}}}{{3}} \)
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da mistake89 » 22/01/2010, 18:02
Quanto alla perpendicolarità nello spazio, non commettere il mio errore... la perpendicolarità in \( \displaystyle {E}_{{3}} \) non implica necessariamente l'incidenza, quindi per un punto passano infinite rette perpendicolari...
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da mtx4 » 29/01/2010, 14:07
mistake89 ha scritto:In questo caso io ragionerei analiticamente...
i parametri direttori di \( \displaystyle {r}_{{1}} \) sono \( \displaystyle {\left({1},{1},-{1}\right)} \) dalla teoria sappiamo che una retta è ortogonale ad un altra se \( \displaystyle {g{{\left({u},{v}\right)}}}={0} \) ove \( \displaystyle {g} \) è il prodotto scalare standard e \( \displaystyle {u} \) e \( \displaystyle {v} \) sono i parametri di direzione delle due rette. Quindi dalla condizione \( \displaystyle {g{{\left({\left({l},{m},{n}\right)}{\left({1},{1},-{1}\right)}\right)}}}={0} \) otteniamo \( \displaystyle {n}={l}+{m} \).
Imponiamo il passaggio per \( \displaystyle {P} \) ed otteniamo la nostra retta \( \displaystyle \frac{{{x}-{1}}}{{l}}=\frac{{{y}-{1}}}{{m}}=\frac{{{z}-{1}}}{{{l}+{m}}} \)
A questo punto consideriamo \( \displaystyle \pi \) piano che contenga la retta \( \displaystyle {r}_{{2}} \) e il punto \( \displaystyle {P} \). La retta cercata giacerà su questo piano, poiché due rette sono incidenti se sono complanari... mi costruisco il fascio di piani di asse \( \displaystyle {r}_{{2}} \) ed imponendo il passaggio per \( \displaystyle {P} \) ottengo il piano \( \displaystyle \pi:{x}-{2}{y}+{z}={0} \)
Ora per imporre che la retta cercata sia complanare a questo piano, poiché hanno il punto \( \displaystyle {P} \) in comune, ci basterà imporre la condizione di parallelismo tra piano e retta, cioè \( \displaystyle {a}{l}+{b}{m}+{c}{n}={0} \), quindi nella fattispecie... \( \displaystyle {l}-{2}{m}+{l}+{m}={0} \) da cui \( \displaystyle {m}={2}{l} \)
dalla relazione precedente, sostituendo otteniamo \( \displaystyle \frac{{{x}-{1}}}{{l}}=\frac{{{y}-{1}}}{{2}}{l}=\frac{{{z}-{1}}}{{{3}{l}}} \). Poichè i parametri direttori sono tutti proporzionali tra loro possiamo assegnare un valore arbitrario, ad esempio \( \displaystyle {1} \) ed otteniamo la retta cercata che ha equazioni \( \displaystyle \frac{{{x}-{1}}}{{1}}=\frac{{{y}-{1}}}{{2}}=\frac{{{z}-{1}}}{{3}} \)
Se hai dei dubbi chiedi pure...
ciao, grazie per la spiegazione, non mi è chiaro la condizione di ortogonalità \( \displaystyle {g{{\left({u},{v}\right)}}}={0} \), dato che non l'abbiamo affrontata in aula e non capisco da dove spunta \( \displaystyle {n}={l}+{m} \)
il resto è abbastanza chiaro, a parte la condizione per cui le rette debbano essere complanari, e se fossero sghembe?? anche due sghembe possono essere incidenti
il procedimento sembra semplice, retta generica ortogonale a r1 data, per essere incidente devono giacere sullo stesso piano, condizione di complanarità e trovo i parametri direttori cercati, mi manca solo il passaggio della perpendicolarità, non conoscendolo
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da mtx4 » 31/01/2010, 13:59
chiarito il problema precedente
posto gli ultimi dubbi prima dell'esame di domani
\( \displaystyle {f{{\left({0},-{2},{1}\right)}}}={\left({0},{1},{0}\right)} \)
\( \displaystyle {f{{\left({1},{2},{0}\right)}}}={\left({0},-{2},{1}\right)} \)
\( \displaystyle {f{{\left({1},{1},{0}\right)}}}={\left(-{1},{0},{3}\right)} \)
scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica
siano \( \displaystyle {B}={\left[{v}{1}={\left({1},{0},{2}\right)}{v}{2}={\left({0},{1},{1}\right)}{v}{3}={\left({1},{1},{1}\right)}\right]} \) e \( \displaystyle {B}'={\left[{v}'{1}={v}{1}-{v}{3};{v}'{2}={v}{2}-{v}{3};{v}'{3}={\left({2},{3},{1}\right)}\right]}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{s}{i}{a}{n}{o} \)x'\( \displaystyle {e}{d} \)x\( \displaystyle \le{c}\infty{r}{d}\in{d}{a}{t}{e}{d}{i}{u}{n}{v}{e}{\mathtt{{\quad\text{or}\quad}}}{e} \)v\( \displaystyle {a}{p}{p}{a}{r}{t}{e}\ne{n}{t}{e}{a}{d} \)R^3\( \displaystyle {r}{i}{s}{p}{e}{\mathtt{{o}}}{a}{l}\le{b}{a}{s}{i}{B}'{e}{B}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{s}{c}{r}{i}{v}{e}{r}{e}{l}{a}{f{{\quad\text{or}\quad}}}\mu{l}{a} \)x'=Ax\( \displaystyle \partial{c}{a}{m}{b}{i}{a}{m}{e}{n}\to\partial\le{c}\infty{r}{d}\in{a}{t}{e}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{\det{{e}}}{r}\min{a}{r}{e}\le{c}\infty{r}{d}\in{a}{t}{e}{d}{i} \)v=(1,1,-1)\( \displaystyle {r}{i}{s}{p}{e}{\mathtt{{o}}}{a}{l}\le{d}{u}{e}{b}{a}{s}{i}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{l}'{\underline{{t}}}{i}{m}{o}{d}{u}{\mathbf{{i}}}{o},{a}{\mathbf{{i}}}{a}{m}{o}{u}{n}{a}{m}{a}{t}{r}{i}{c}{e}{a}{s}{s}{o}{c}{i}{a}{t}{a}{a}{d}{u}{n}{a}{p}{p}{l}{i}{c}{a}{z}{i}{o}\ne{l}\in{e}{a}{r}{e}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{d}{o}{\mathbf{{i}}}{a}{m}{o}{s}{t}{a}{b}{i}{l}{i}{r}{e}{s}{e}{u}{n}{v}{e}{\mathtt{{\quad\text{or}\quad}}}{e}{d}{a}\to{a}{d}{e}{s}{e}{m}\pi{o} \)(1,2,4)\( \displaystyle {a}{p}{p}{a}{r}{t}{i}{e}{n}{t}{e}{a}{d} \)Imf\( \displaystyle {o} \)kerf\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\in{q}{u}{e}{s}\to{c}{a}{s}{o}{p}{o}{n}{i}{a}{m}{o}{i}{l}{v}{e}{\mathtt{{\quad\text{or}\quad}}}{e}\ne{l}{l}{a}{n}{o}{s}{t}{r}{a}{m}{a}{t}{r}{i}{c}{e}{a}{s}{s}{o}{c}{i}{a}{t}{a}{e}{d}{i}{m}{p}{o}{n}{i}{a}{m}{o}{c}{h}{e}{d}{e}{v}{e}{e}{s}{s}{e}{r}{e}{d}{i}{p}{e}{n}{d}{e}{n}{t}{e}{o}\in{d}{i}{p}{e}{n}{d}{e}{n}{t}{e}???\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{i}{o}{c}{r}{e}{d}{o}{d}{i}{p}{e}{n}{d}{e}{n}{t}{e},{q}{u}\in{d}{i} \)det=0$
spero che riuscirete a rispondermi entro oggi
posto gli ultimi dubbi prima dell'esame di domani
\( \displaystyle {f{{\left({0},-{2},{1}\right)}}}={\left({0},{1},{0}\right)} \)
\( \displaystyle {f{{\left({1},{2},{0}\right)}}}={\left({0},-{2},{1}\right)} \)
\( \displaystyle {f{{\left({1},{1},{0}\right)}}}={\left(-{1},{0},{3}\right)} \)
scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica
siano \( \displaystyle {B}={\left[{v}{1}={\left({1},{0},{2}\right)}{v}{2}={\left({0},{1},{1}\right)}{v}{3}={\left({1},{1},{1}\right)}\right]} \) e \( \displaystyle {B}'={\left[{v}'{1}={v}{1}-{v}{3};{v}'{2}={v}{2}-{v}{3};{v}'{3}={\left({2},{3},{1}\right)}\right]}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{s}{i}{a}{n}{o} \)x'\( \displaystyle {e}{d} \)x\( \displaystyle \le{c}\infty{r}{d}\in{d}{a}{t}{e}{d}{i}{u}{n}{v}{e}{\mathtt{{\quad\text{or}\quad}}}{e} \)v\( \displaystyle {a}{p}{p}{a}{r}{t}{e}\ne{n}{t}{e}{a}{d} \)R^3\( \displaystyle {r}{i}{s}{p}{e}{\mathtt{{o}}}{a}{l}\le{b}{a}{s}{i}{B}'{e}{B}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{s}{c}{r}{i}{v}{e}{r}{e}{l}{a}{f{{\quad\text{or}\quad}}}\mu{l}{a} \)x'=Ax\( \displaystyle \partial{c}{a}{m}{b}{i}{a}{m}{e}{n}\to\partial\le{c}\infty{r}{d}\in{a}{t}{e}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{\det{{e}}}{r}\min{a}{r}{e}\le{c}\infty{r}{d}\in{a}{t}{e}{d}{i} \)v=(1,1,-1)\( \displaystyle {r}{i}{s}{p}{e}{\mathtt{{o}}}{a}{l}\le{d}{u}{e}{b}{a}{s}{i}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{l}'{\underline{{t}}}{i}{m}{o}{d}{u}{\mathbf{{i}}}{o},{a}{\mathbf{{i}}}{a}{m}{o}{u}{n}{a}{m}{a}{t}{r}{i}{c}{e}{a}{s}{s}{o}{c}{i}{a}{t}{a}{a}{d}{u}{n}{a}{p}{p}{l}{i}{c}{a}{z}{i}{o}\ne{l}\in{e}{a}{r}{e}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{d}{o}{\mathbf{{i}}}{a}{m}{o}{s}{t}{a}{b}{i}{l}{i}{r}{e}{s}{e}{u}{n}{v}{e}{\mathtt{{\quad\text{or}\quad}}}{e}{d}{a}\to{a}{d}{e}{s}{e}{m}\pi{o} \)(1,2,4)\( \displaystyle {a}{p}{p}{a}{r}{t}{i}{e}{n}{t}{e}{a}{d} \)Imf\( \displaystyle {o} \)kerf\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\in{q}{u}{e}{s}\to{c}{a}{s}{o}{p}{o}{n}{i}{a}{m}{o}{i}{l}{v}{e}{\mathtt{{\quad\text{or}\quad}}}{e}\ne{l}{l}{a}{n}{o}{s}{t}{r}{a}{m}{a}{t}{r}{i}{c}{e}{a}{s}{s}{o}{c}{i}{a}{t}{a}{e}{d}{i}{m}{p}{o}{n}{i}{a}{m}{o}{c}{h}{e}{d}{e}{v}{e}{e}{s}{s}{e}{r}{e}{d}{i}{p}{e}{n}{d}{e}{n}{t}{e}{o}\in{d}{i}{p}{e}{n}{d}{e}{n}{t}{e}???\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{i}{o}{c}{r}{e}{d}{o}{d}{i}{p}{e}{n}{d}{e}{n}{t}{e},{q}{u}\in{d}{i} \)det=0$
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da mistake89 » 31/01/2010, 14:07
ti rispondo al post precendete, quanto al nuovo quesito ti consiglio di cancellarlo da questo post e aprirne uno nuovo.
Anzitutto \( \displaystyle {g} \) è il prodotto scalare standard ed ecco come esce la relazione tra i vettori direttori. Mi sembra strano che ti abbiano detto questo a lezione in quanto quella è proprio la definizione di ortogonalità tra rette... non saprei spiegartela diversamente, è la definizione (tra l'altro si prova, per come è definito l'angolo che tale definizione assicura che rette perpendicolari formino angoli di \( \displaystyle {90}° \)).
Altro punto, due rette sghembe possono essere incidenti? Sei proprio sicuro?
Se due rette sono incidenti o parallele allora son complanari, il che è evidentemente una contraddizione con il fatto che siano sghembe
Anzitutto \( \displaystyle {g} \) è il prodotto scalare standard ed ecco come esce la relazione tra i vettori direttori. Mi sembra strano che ti abbiano detto questo a lezione in quanto quella è proprio la definizione di ortogonalità tra rette... non saprei spiegartela diversamente, è la definizione (tra l'altro si prova, per come è definito l'angolo che tale definizione assicura che rette perpendicolari formino angoli di \( \displaystyle {90}° \)).
Altro punto, due rette sghembe possono essere incidenti? Sei proprio sicuro?
Se due rette sono incidenti o parallele allora son complanari, il che è evidentemente una contraddizione con il fatto che siano sghembe
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