Alcuni integrali...non standard 2

[Piera]

Come si capisce dal titolo, questo topic è il seguito di un altro, spero solo che a qualcuno possa interessare!!
Non uso MathMl perchè se sbaglio a scrivere poi non lo potrei vedere (purtroppo non lo posso istallare)

1) Sia g(x) = [f(x) +f ''(x) ]*sen x
con f(x) definita su R continua e due volte derivabile,
sapendo che int[0 < x < Pi] g(x) dx = 5
e che f(Pi) = 2, calcolare f(0).

2) Determinare una primitiva della funzione
f(x) =(xe^x + e^x)*[ln x]^2 - 2[e^x]/x

3) Calcolare int[0 < x < 1] F(x) dx
dove
F(x)= int[0 <t< x] (2t +1)(2t - 1)e^(-t^2 + t) dt - 4*int[0 <t <x] t *e^(-t^2 + t)dt

4) Dimostrare che
int[0 < x <2Pi] e^(cos x) * cos( x + sen x) dx = 0.

[MaMo]

1) f(0) = 3.

[Piera]

@MaMo ok!

[Nidhogg]

1) f(0) = 3.

MaMo sono interessato al procedimento da te utilizzato per calcolare il valore della funzione in zero. Puoi spiegarmi come hai ragionato? Grazie!

[Piera]

g(x) = f(x)*sen x +f ''(x) *sen x
integrando per parti si ottiene
int[0 pi]f(x)*sen x dx = -[f(x)* cos x] (tra 0 e pi) +
int[0 pi] f '(x) cos x dx = -f(pi) cos pi + f(0) cos 0 + int[0 pi] f '(x) cos x dx (1)

ancora per parti , si ha
int[0 pi]f ''(x)*sen x dx = [f ' (x) sen x] ( tra 0 e pi) - int[0 pi]f ' (x) cos x dx = -int[0 pi]f ' (x) cos x dx (2)

sommando (1) + (2) si ha
f(pi) + f(0) che deve essere uguale a 5 , ma f(pi) = 2, quindi f(0) = 3

[karl]

N° 2
\( \displaystyle \int{\left({x}{{e}}^{{x}}+{{e}}^{{x}}\right)}{{\log}}^{{2}}{x}{\left.{d}{x}\right.}=\int{{\log}}^{{2}}{x}{d}{\left({x}{{e}}^{{x}}\right)}={x}{{e}}^{{x}}{{\log}}^{{2}}{x}-{2}\int{{e}}^{{x}}{\log{{x}}}{\left.{d}{x}\right.} \)

\( \displaystyle \int-{2}\frac{{{e}}^{{x}}}{{x}}{\left.{d}{x}\right.}=-{2}\int{{e}}^{{x}}{d}{\left({\log{{x}}}\right)}=-{2}{{e}}^{{x}}{\log{{x}}}+{2}\int{{e}}^{{x}}{\log{{x}}}{\left.{d}{x}\right.} \)

Sommando ,una primitiva E puo' essere:

\( \displaystyle {E}={x}{{e}}^{{x}}{{\log}}^{{2}}{x}-{2}{{e}}^{{x}}{\log{{x}}} \)

Archimede

[karl]

N° 3
\( \displaystyle {F}{\left({x}\right)}={\int_{{0}}^{{x}}}{\left({2}{t}+{1}\right)}{d}{\left(-{{e}}^{{-{{t}}^{{2}}+{t}}}\right)}-{4}{\int_{{0}}^{{x}}}{t}{{e}}^{{-{{t}}^{{2}}+{t}}}{\left.{d}{t}\right.} \)
Ovvero:
\( \displaystyle {F}{\left({x}\right)}={{\left|-{\left({2}{t}+{1}\right)}{{e}}^{{-{{t}}^{{2}}+{t}}}\right|}_{{0}}^{{x}}}+{2}{\int_{{0}}^{{x}}}{{e}}^{{-{{t}}^{{2}}+{t}}}{\left.{d}{t}\right.}-{4}{\int_{{0}}^{{x}}}{t}{{e}}^{{-{{t}}^{{2}}+{t}}}{\left.{d}{t}\right.} \)
Cioe':
\( \displaystyle {F}{\left({x}\right)}=-{\left({2}{x}+{1}\right)}{{e}}^{{-{{x}}^{{2}}+{x}}}+{2}{\int_{{0}}^{{x}}}{\left(-{2}{t}+{1}\right)}{{e}}^{{-{{t}}^{{2}}+{t}}}{\left.{d}{t}\right.}+{1} \)
Da cui:
\( \displaystyle {F}{\left({x}\right)}=-{\left({2}{x}+{1}\right)}{{e}}^{{-{{x}}^{{2}}+{x}}}+{2}{\int_{{0}}^{{x}}}{{e}}^{{-{{t}}^{{2}}+{t}}}{d}{\left(-{{t}}^{{2}}+{t}\right)}+{1} \)
quindi:
\( \displaystyle {F}{\left({x}\right)}=-{\left({2}{x}+{1}\right)}{{e}}^{{-{{x}}^{{2}}+{x}}}+{2}{{\left|{{e}}^{{-{{t}}^{{2}}+{t}}}\right|}_{{0}}^{{x}}}+{1}=-{\left({2}{x}+{1}\right)}{{e}}^{{-{{x}}^{{2}}+{x}}}+{2}{{e}}^{{-{{x}}^{{2}}+{x}}}-{1} \)
Vale a dire:
\( \displaystyle {F}{\left({x}\right)}={\left(-{2}{x}+{1}\right)}{{e}}^{{-{{x}}^{{2}}+{x}}}-{1}=\frac{{d}}{{{\left.{d}{x}\right.}}}{\left({{e}}^{{-{{x}}^{{2}}+{x}}}-{x}\right)} \)
Infine:
\( \displaystyle {\int_{{0}}^{{1}}}{F}{\left({x}\right)}{\left.{d}{x}\right.}={{\left|{{e}}^{{-{{x}}^{{2}}+{x}}}-{x}\right|}_{{0}}^{{1}}}=-{1} \)
Archimede
P.S.
Non so se i calcoli sono esatti,ma in ogni caso complimenti a Pieragalli per i
notevoli esercizi proposti.

[Piera]

@Archimede, anch'io nel 3) ho trovato come risultato -1, quindi penso che i calcoli siano giusti.

Per quanto riguarda il 4) (quello decisamente più difficile) dò un suggerimento : provare a utilizzare l'analisi complessa... di più non posso dire altrimenti diventa troppo facile

[Piera]

Mi rendo conto che il 4) esercizio è impossibile da risolvere in base a come l'ho formulato!!

Il testo originario dell'esercizio è :
calcolando int e^z dz lungo il cerchio |z| = 1 (z variabile complessa), dimostrare che int[0 < x <2Pi] e^(cos x) * cos( x + sen x) dx = 0.

essendo la funzione f(z)= e^z olomorfa sul cerchio,
si ha
int e^z dz = 0
il cerchio ha equazione z = e^(ix) con 0<= x <=2pi, poichè differenziando l'equazione del cerchio si ottiene dz = i e^(ix) dx, l'integrale diventa
int [0<x<2pi] e^(e^(ix)) * i e^(ix) dx = 0

applicando la formula di Eulero (e^(ix) = cos x + i sen x) l'integrale diventa
int [0<x<2pi] e^(cos x + i sen x) * i e^(ix) dx= 0
int [0<x<2pi] e^(cos x) *e^(i sen x) * i e^(ix) dx= 0
int [0<x<2pi] e^(cos x) *e^(i [x +sen x] )* i dx= 0
int [0<x<2pi] e^(cos x) *[cos (x + sen x) + i sen ( x+sen x)] * i dx= 0

i*int[0<x<2pi]e^(cos x)*cos(x+sen x)dx- int[0<x<2pi]e^(cos x)*sen(x+sen x)dx=0

da quest'ultima identità segue che
int [0<x<2pi] e^(cos x) *cos (x + sen x)dx = 0