Algebra 2: esercizio sulle azioni

[simonina_2]

Ciao a tutti,
ho un esercizio con il quale sto litigando da un pò..
Non riesco a scriverlo perchè ce l'ho in formato pdf, ho provato a inserirlo con un link..

http://yfrog.com/1nistantanea2010011510483p
http://img59.imageshack.us/img59/2073/i ... 510483.png
(non so quale dei due è collegamento diretto, perdonatemi sono un pò imbranata con queste cose=()

Comunque..
il primo punto è ok, sono riuscita a dimostrare che è un'azione seguendo le condizioni che devono essere soddisfatte.
per quanto riguarda il secondo punto,
ho applicato la definizione però non sono sicura di averla applicata giusta..
se l'azione è fedele il nucleo deve essere banale no? beh, a me viene infatti che il nucleo è costituito dall'identità.
quindi è fedele.
ma per essere transitiva devo dimostrare che esiste un'unica orbita..e come faccio?
E poi qui vado in crisi nera per lo stabilizzatore e l'orbita dell'elemento (3,1,1,3)..
e crisi ancora piu nera per trovare il numero delle orbite, che so che si deve applicare Burnside, ma proprio non riesco a farlo!!!

Grazie mille a chi riuscirà a aiutarmi

[misanino]

Comincio a risponderti al quesito 2.
Poi ti lascio pensare un po' e poi rispondo al resto.

L'azione non è transitiva.
Infatti l'azione è transitiva se esiste una sola orbita, cioè se \( \displaystyle \forall{x},{y}\in{{X}}^{{4}},\exists\pi\in{S}_{{4}}\ :\ {y}=\pi{\left({x}\right)} \) .
Ora nel tuo caso l'azione porta un elemento \( \displaystyle {\left({x}_{{1}},{x}_{{2}},{x}_{{3}},{x}_{{4}}\right)} \) in un qualsiasi altro elemento che si può ottenere permutando le componenti dell'elemento di partenza (ad esempio posso ottenere \( \displaystyle {\left({x}_{{3}},{x}_{{2}},{x}_{{1}},{x}_{{4}}\right)} \), oppure \( \displaystyle {\left({x}_{{4}},{x}_{{2}},{x}_{{3}},{x}_{{1}}\right)} \), ....)
Perciò se parto con l'elemento (1,1,1,1) non potrò ottenere nessun altro elemento se non (1,1,1,1) stesso; e quindi se scelgo ad esempio (1,2,2,3) (ne ho scelto uno proprio a caso!) non esiste \( \displaystyle \pi\in{S}_{{4}} \) tale che \( \displaystyle \pi{\left({1},{1},{1},{1}\right)}={\left({1},{2},{2},{3}\right)} \) e quindi l'azione non è transitiva.

Ora per rispondere al quesito 3, conosci la definizione di orbita e stabilizzatore di un elemento?

[simonina_2]

perfetto, il questito 2 ora mi è molto piu chiaro...

Si, in poche parole lo stabilizzatore di x è quell'elemento che lo fissa, quindi sarebbero tutte le permutazioni che appplicate su quell'elemento, mi danno come risultato l'elemento stesso....no?

[misanino]

La definizione di stabilizzatore è giusta.
Attenta però in questo caso anche a come è definita l'azione.
Prova a scrivere i passaggi che fai per arrivare a determinare lo stabilizztore di (3,1,1,3), così controllo se sono giusti

[simonina_2]

eh..il problema è proprio quello.. non riesco proprio ad applicarla.. io direi che le uniche permutazioni che tengono fisso l'elemento (3,1,1,3), sono tutte quelle che non presentano solo 1 nè 3.. quindi: (2,4), (1,2,3,4), (1,2,2,4) (1,2,2,3) (1 2) ecc...... ma non mi convince..

[misanino]

Si, in poche parole lo stabilizzatore di x è quell'elemento che lo fissa, quindi sarebbero tutte le permutazioni che appplicate su quell'elemento, mi danno come risultato l'elemento stesso....no?

La definizione di stabilizzatore è giusta, ma la tua conclusione è assolutamente sbagliata!!
Qui c'è un'azione e devi tenere conto dell'azione che hai.
Leggi bene cosa fa l'azione...