da misanino » 09/01/2010, 12:25
Vediamo un po'.
Provo a risponderti alla seconda domanda.
Prima di tutto penso che con classe coniugata tu intendi classe di coniugio, cioè, dato un elemento \( \displaystyle {x}\in{S}_{{n}} \), si dice classe di coniugio di x l'insieme degli \( \displaystyle {g{{x}}}{{g}}^{{-{1}}}\ {t}.{c}.\ {g{\in}}{S}_{{n}} \).
Ora per tutti i gruppi simmetrici è facile trovare le classi di coniugio.
Le classi di coniugio sono infatti i k-cicli.
Spiego meglio cosa intendo.
Prendiamo \( \displaystyle {S}_{{3}} \) gruppo delle permutazioni di 1,2,3.
Gli elementi di tale gruppo sono 6 (cioè 3!):
1, (12), (23), (13), (123), (132).
Ora 1 è un 1-ciclo
(12) è un 2-ciclo
(123) è un 3-ciclo.
Perciò ho 3 classi di coniugio:
1-ciclo formata dal solo elemento 1
2-ciclo formata dagli elementi (12),(23),(13)
3-ciclo formata dagli elementi (123), (132)
Quindi la prima classe di coniugio ha cardinalità 1, la seconda 3, la terza 2.
Se ora prendo \( \displaystyle {S}_{{4}} \) invece di \( \displaystyle {S}_{{3}} \) ho:
1-cicli (elemento 1)
2-cicli (ad esempio l'elemento (12))
3-cicli (ad esempio l'elemento (123))
4-cicli (ad esempio l'elemento (1234))
2,2-cicli (ad esempio l'elemento (13)(24))
Ho perciò 5 classi di coniugio
Allo stesso modo in \( \displaystyle {S}_{{5}} \) (prova a pensarci tu) hai 7 classi di coniugio.
Ora per determinare la cardinalità di ogni classe non è il caso di scrivere tutti gli elementi (anche perchè in \( \displaystyle {S}_{{5}} \) ce ne sono 5!=120).
Si può però ragionare utilizzando la probabilità.
Ad esempio se voglio contare tutti i 2-cicli in \( \displaystyle {S}_{{5}} \) posso notare che posso mettere al primo posto del 2-ciclo 5 elementi (1,2,3,4,5) e nel 2° posto del 2-ciclo 4 elementi (cioè tutti tranne quello che ho messo al primo posto). Avrei quindi 5*4=20 possibilità. Noto però che (12)=(21) e quindi devo dividere per 2.
Perciò i 2-cicli sono 20:2=10.
Allo stesso modo conti gli altri k-cicli
