Algebra lineare e geometria I

[bianconerojuventino]

Ciao a tutti,
questo file http://digilander.libero.it/ottavioserra0/Esercizi/ALG/Appelli/AlgDicembre07%20D.pdf
contiene un appello di esame che a breve dovrò fare. Chiedo una mano a risolvere i punti E F G del primo esercizio dato che sono gli unici che non riesco a risolvere.

[misanino]

Cominciamo dal punto E.
Scrivi qui quali sono i vettori che fanno parte del sottospazio U.
(Ad esempio in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \) se ho il sottospazio \( \displaystyle {x}_{{1}}+{x}_{{2}}={1} \) allora \( \displaystyle {x}_{{2}}={1}-{x}_{{1}} \) e quindi i vettori che fanno parte di questo sottospazio sono \( \displaystyle {\left(\alpha,{1}-\alpha\right)} \) con \( \displaystyle \alpha\in\mathbb{R} \))

[bianconerojuventino]

Allora i vettori dovrebbero essere composti così: \( \displaystyle {\left(\gamma-{2}\alpha,\alpha,\beta,\gamma\right)} \) che sono venuti fuori dal sistema
\( \displaystyle {x}{1}+{2}{x}{2}-{x}{4}={0} \)
\( \displaystyle {x}{2}=\alpha \)
\( \displaystyle {x}{3}=\beta \)
\( \displaystyle {x}{4}=\gamma \)

[misanino]

Allora i vettori dovrebbero essere composti così: \( \displaystyle {\left(\gamma-{2}\alpha,\alpha,\beta,\gamma\right)} \) che sono venuti fuori dal sistema
\( \displaystyle {x}{1}+{2}{x}{2}-{x}{4}={0} \)
\( \displaystyle {x}{2}=\alpha \)
\( \displaystyle {x}{3}=\beta \)
\( \displaystyle {x}{4}=\gamma \)

Molto bene.
Ora calcola l'immagine di tali vettori,
cioè calcola \( \displaystyle {T}{\left(\gamma-{2}\alpha,\alpha,\beta,\gamma\right)} \) usando la definizione di T che hai all'inizio

[bianconerojuventino]

Puoi spiegarti meglio? So che ti sarai espresso nel migliore dei modi, ma purtroppo nei giorni che il prof ha spiegato le trasformazioni lineari, ero a casa malato e quindi ora mi ritrovo con un libro, che spiega fino a un certo punto (nel senso che lascia giustamente la parte concettuale per dedicarsi alla parte pratica), e con appunti dei miei colleghi dove non capisco molto bene quello che fanno.

[germano88]

ciao...ti devo chiedere un favore...hai altre di queste prove da mettere in rete????

[misanino]

Puoi spiegarti meglio? So che ti sarai espresso nel migliore dei modi, ma purtroppo nei giorni che il prof ha spiegato le trasformazioni lineari, ero a casa malato e quindi ora mi ritrovo con un libro, che spiega fino a un certo punto (nel senso che lascia giustamente la parte concettuale per dedicarsi alla parte pratica), e con appunti dei miei colleghi dove non capisco molto bene quello che fanno.

Allora la tua trasformazione lineare T è definita da \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{4}} \) a \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) come
\( \displaystyle {T}{\left({x}_{{1}},{x}_{{2}},{x}_{{3}},{x}_{{4}}\right)}={\left({x}_{{1}}+{2}{x}_{{2}}+{3}{x}_{{4}},{x}_{{1}}+{x}_{{2}}-{2}{x}_{{4}},{x}_{{2}}+{x}_{{3}}+{2}{x}_{{4}}\right)} \) dove con \( \displaystyle {\left({x}_{{1}},{x}_{{2}},{x}_{{3}},{x}_{{4}}\right)} \) si indica un qualunque vettore di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{4}} \).
Ora il nostro spazio U è (l'hai detto tu stesso) l'insieme dei vettori \( \displaystyle {\left(\gamma-{2}\alpha,\alpha,\beta,\gamma\right)} \).
Perciò quello che nella definizione era indicato con \( \displaystyle {x}_{{1}} \) ora è \( \displaystyle \gamma-{2}\alpha \);
ciò che era indicato con \( \displaystyle {x}_{{2}} \) ora è \( \displaystyle \alpha \) eccetera eccetera.
usando quindi la definizione di T che ti ho scritto sopra scopri dove viene portato il vettore \( \displaystyle {\left(\gamma-{2}\alpha,\alpha,\beta,\gamma\right)} \).
Hai capito ora?
Se sì prova a fare i calcoli e a riportare il risultato

[bianconerojuventino]

Per germano88 questo appello l'ho trovato girando su internet, non l'ho messo io. Comunque qui http://digilander.libero.it/ottavioserr ... ppelli.htm ce n'è sono altri simili.

Per misanino ora provo...

[bianconerojuventino]

Allora...
\( \displaystyle {T}{\left(\gamma-{2}\alpha,\alpha,\beta,\gamma\right)}={\left({x}{1}+{2}{x}{2}+{3}{x}{4},{x}{1}+{x}{2}-{2}{x}{4},{x}{2}+{x}{3}+{2}{x}{4}\right)} \)
\( \displaystyle {\left(\gamma-{2}\alpha+{2}\alpha+{3}\gamma,\gamma-{2}\alpha+\alpha-{2}\gamma,\alpha+\beta+{2}\gamma\right)} \)
\( \displaystyle {\left({4}\gamma,-\gamma-\alpha,\alpha+\beta+{2}\gamma\right)} \)
\( \displaystyle {\left({4}\gamma,-\gamma,{2}\gamma\right)}+{\left({0},-\alpha,\alpha\right)}+{\left({0},{0},\beta\right)} \)
\( \displaystyle \gamma{\left({4},-{1},{2}\right)}+\alpha{\left({0},-{1},{1}\right)}+\beta{\left({0},{0},{1}\right)} \)
giusto?

[misanino]

Allora...
\( \displaystyle {T}{\left(\gamma-{2}\alpha,\alpha,\beta,\gamma\right)}={\left({x}{1}+{2}{x}{2}+{3}{x}{4},{x}{1}+{x}{2}-{2}{x}{4},{x}{2}+{x}{3}+{2}{x}{4}\right)} \)
\( \displaystyle {\left(\gamma-{2}\alpha+{2}\alpha+{3}\gamma,\gamma-{2}\alpha+\alpha-{2}\gamma,\alpha+\beta+{2}\gamma\right)} \)
\( \displaystyle {\left({4}\gamma,-\gamma-\alpha,\alpha+\beta+{2}\gamma\right)} \)

Fermati qua.
Le ultime cose che hai scritto non hanno senso.
Quello che hai trovato, cioè \( \displaystyle {\left({4}\gamma,-\gamma-\alpha,\alpha+\beta+{2}\gamma\right)} \) con \( \displaystyle \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} \) è un vettore (o meglio un insieme di vettori) di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) ed è proprio lo spazio immagine di U tramite T che cercavi.