Algebra lineare for dummies

[vict85]

Guarda, ho preparato il pdf perché mi era stato chiesto, ma per il resto la "vera" algebra lineare for dummies è quella che si legge nel forum e... "appartiene" al forum.
Vale quindi la regola 3.12: «I contenuti dei messaggi si intendono non protetti da copyright».

Io penso che in tal caso andrebbe segnalato che la versione originale è sul forum con il link alla pagina sul forum.

[Sergio]

Il rinvio al forum è contenuto nella Premessa del pdf.

[wmatte]

Premetto ringraziando tutti per questa introduzione breve ma assolutamente chiara e illuminante sull'argomento: sono uno studente universitario di Reggio Emilia, e senza questo articolo non saprei come prepare l'esame di Algebra Lineare.

Inolte volevo farvi notare un errore (almeno mi pare!) di calcolo nella parte dove si introducono le Basi: (4,8)=2(2,0)+4(0,1), non dovrebbe essere 4(0,2)?

Buona giornata a tutti!

Importante! Si dice sempre una base, mai la base, perché le basi uno spazio vettoriale sono infinite.

Esempio 2. Torniamo a \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \), spazio vettoriale rappresentabile come un normale piano cartesiano. I vettori \( \displaystyle {\left({1},{0}\right)} \) e \( \displaystyle {\left({0},{1}\right)} \) ne costituiscono una base, perché, come visto, qualsiasi vettore \( \displaystyle {\left({x},{y}\right)} \) può essere espresso come loro combinazione lineare. Ad esempio:
\( \displaystyle {\left({4},{8}\right)}={4}{\left({1},{0}\right)}+{8}{\left({0},{1}\right)} \)
Ma non è certo l'unica base: se prendo i vettori \( \displaystyle {\left({2},{0}\right)} \) e \( \displaystyle {\left({0},{2}\right)} \), avrò:
\( \displaystyle {\left({4},{8}\right)}={2}{\left({2},{0}\right)}+{4}{\left({0},{1}\right)} \)
Cambiano i coefficienti, ma \( \displaystyle {\left({4},{8}\right)} \) è combinazione lineare anche degli elementi della nuova base. E così via: possono essere basi \( \displaystyle {\left({12},{0}\right)} \) e \( \displaystyle {\left({0},-{3}\right)} \), \( \displaystyle {\left(\pi,{0}\right)} \) e \( \displaystyle {\left({0},{e}\right)} \) ecc. Non solo: se due vettori \( \displaystyle {v}_{{1}},{v}_{{2}} \) costituiscono una base, cambiando il loro ordine si ottiene una base diversa (ricordiamolo: una base è un insieme ordinato di vettori).

Perché mai i vettori che sono elementi di una base devono essere linearmente indipendenti? Per capirlo, si deve introdurre un'altra definizione.

EDIT: Apportate piccole, ma non trascurabili, correzioni grazie a ham_burst, che ringrazio.

[Sergio]

@wmatte: giusto, corretto, grazie!