Algebra: polinomi e campi di spezzamento

[fabry1985mi]

Avrei bisogno di un sapere se è giusto lo svolgimento di questo esercizio e un piccolo suggerimento su un punto di questo problema:

(a)Si provi che il polinomio \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={{x}}^{{4}}+{2}{x}+{2} \) è irriducibile in \( \displaystyle {\mathbb{{{Z}}}}_{{3}}{\left[{x}\right]} \) e che il
polinomio \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}}={{x}}^{{4}}+{3}{{x}}^{{2}}-{x}+{5} \) è irriducibile in \( \displaystyle {\mathbb{{{Q}}}}{\left[{x}\right]} \).

(b) Si consideri il polinomio \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={{x}}^{{3}}-{x}-{1}\in{\mathbb{{{Z}}}}_{{3}}{\left[{x}\right]} \). Si determini il
campo di spezzamento \( \displaystyle {K} \) di \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \) su \( \displaystyle {\mathbb{{{Z}}}}_{{3}} \). In particolare, si determini
l’ordine di \( \displaystyle {K} \) e la fattorizzazione di \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \) in \( \displaystyle {K}{\left[{x}\right]} \).

Svolgimento (a):

Poiché \( \displaystyle {f{{\left({0}\right)}}}={f{{\left({1}\right)}}}={2}\ne{0} \) e \( \displaystyle {f{{\left({2}\right)}}}={1}\ne{0} \) il polinomio \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \) non ha radici in \( \displaystyle {\mathbb{{{Z}}}}_{{3}} \), ciononostante potrebbe separarsi in due polinomi di secondo grado. Mostriamo che ciò non è possibile:
I soli polinomi irriducibili di secondo grado in \( \displaystyle {\mathbb{{{Z}}}}_{{3}}{\left[{x}\right]} \) sono:

\( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{1} \), \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{x}+{2} \), \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2} \)

Eseguendo ora la divisione tra \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \) e i tre polinomi sopra citati si ottiene sempre un resto non nullo (evito i conti perché diventerebbe troppo lungo); dunque \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \) è irriducibile in \( \displaystyle {\mathbb{{{Z}}}}_{{3}}{\left[{x}\right]} \). Ora, poiché \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}} \) coincide con \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \) in \( \displaystyle {\mathbb{{{Z}}}}_{{3}}{\left[{x}\right]} \) e \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \) è ivi irriducibile, tale è anche \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}} \) in \( \displaystyle {\mathbb{{{Q}}}}{\left[{x}\right]} \).

Svolgimento (b)

Dato che \( \displaystyle {f{{\left({0}\right)}}}={f{{\left({1}\right)}}}={f{{\left({2}\right)}}}={2}\ne{0} \) il polinomio \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \) è irriducibile in \( \displaystyle {\mathbb{{{Z}}}}_{{3}}{\left[{x}\right]} \)

Sia ora \( \displaystyle {K}=\frac{{{\mathbb{{{Z}}}}_{{3}}{\left[{x}\right]}}}{{{\left({f{{\left({x}\right)}}}\right)}}}={\left\lbrace{a}+{b}\alpha+{c}{\alpha}^{{2}}:{a},{b},{c}\in{\mathbb{{{Z}}}}_{{3}},{\alpha}^{{3}}-\alpha-{1}={0}\right\rbrace} \)

Essendo dunque \( \displaystyle \alpha \) una radice del polinomio \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \) è possibile eseguire la divisione con la regola di Ruffini e giungere al risultato che \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={\left({x}-\alpha\right)}{\left({{x}}^{{2}}+\alpha{x}+{\alpha}^{{2}}-{1}\right)} \).

Ponendo \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}}\:={{x}}^{{2}}+\alpha{x}+{\alpha}^{{2}}-{1} \) si nota che \( \displaystyle {g{{\left(\alpha+{1}\right)}}}={0} \) cioè \( \displaystyle \alpha+{1} \) è anch'essa una radice di \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}} \) e ripetendo la divisione con la regola di Ruffini si giunge al risultato finale in cui ho la fattorizzazione di \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \) in \( \displaystyle {K}{\left[{x}\right]} \): \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={\left({x}-\alpha\right)}{\left({x}-\alpha-{1}\right)}{\left({x}+{2}\alpha+{1}\right)} \)
Fino a qui è giusto?
Ora mi manca solo da calcolare l'ordine di \( \displaystyle {K} \) e non so come fare. Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie infinite!

[Gaal Dornick]

L'ordine di \( \displaystyle {K} \) su \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \) è il grado del polinomio minimo di \( \displaystyle \alpha \) su \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \). Conosci qualche polinomio irriducibile su \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \) che abbia \( \displaystyle \alpha \) come radice?

[fabry1985mi]

L'ordine di \( \displaystyle {K} \) su \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \) è il grado del polinomio minimo di \( \displaystyle \alpha \) su \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \). Conosci qualche polinomio irriducibile su \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \) che abbia \( \displaystyle \alpha \) come radice?

Scusami veramente, ma non riesco a capire cosa mi stai chiedendo...
Se il polinomio è irriducibile i \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \), come può avere una radice in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \)?

[Gaal Dornick]

\( \displaystyle \alpha \) è algebrico su \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \) (è radice di \( \displaystyle {f{\in}}\mathbb{Z}_{{3}}{\left[{x}\right]} \)), quindi \( \displaystyle {K}=\mathbb{Z}_{{3}}{\left(\alpha\right)}=\mathbb{Z}_{{3}}{\left[\alpha\right]}=\mathbb{Z}_{{3}}{\left[{x}\right]}\//{\left({p}\right)} \) (con \( \displaystyle {p} \) polinomio minimo di \( \displaystyle \alpha \), ossia un polinomio monico (lo possiamo sempre prendere poichè possiamo normalizzare moltiplicando per un invertibile - cioè le costanti diverse da 0), che si annulli in \( \displaystyle \alpha \), di valutazione minima (equivalentemente irriducibile)).
Devo capire qual è il grado \( \displaystyle {\left[\mathbb{Z}_{{3}}{\left(\alpha\right)}:\mathbb{Z}_{{3}}\right]} \), cioè la dimensione dello spazio vettoriale \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}}{\left(\alpha\right)} \) su \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \), sfruttando gli isomorfismi che ho scritto su: questa sarà uguale alla dimensione di \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}}{\left[{x}\right]}\//{\left({p}\right)} \) su campo \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \), e quest'ultima è uguale al grado di \( \displaystyle {p} \).

Quindi il tutto punta alla ricerca di un polinomio irriducibile su \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \), monico, che si annulli in \( \displaystyle \alpha \).

[fabry1985mi]

\( \displaystyle \alpha \) è algebrico su \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \) (è radice di \( \displaystyle {f{\in}}\mathbb{Z}_{{3}}{\left[{x}\right]} \)), quindi \( \displaystyle {K}=\mathbb{Z}_{{3}}{\left(\alpha\right)}=\mathbb{Z}_{{3}}{\left[\alpha\right]}=\mathbb{Z}_{{3}}{\left[{x}\right]}\//{\left({p}\right)} \) (con \( \displaystyle {p} \) polinomio minimo di \( \displaystyle \alpha \), ossia un polinomio monico (lo possiamo sempre prendere poichè possiamo normalizzare moltiplicando per un invertibile - cioè le costanti diverse da 0), che si annulli in \( \displaystyle \alpha \), di valutazione minima (equivalentemente irriducibile)).
Devo capire qual è il grado \( \displaystyle {\left[\mathbb{Z}_{{3}}{\left(\alpha\right)}:\mathbb{Z}_{{3}}\right]} \), cioè la dimensione dello spazio vettoriale \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}}{\left(\alpha\right)} \) su \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \), sfruttando gli isomorfismi che ho scritto su: questa sarà uguale alla dimensione di \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}}{\left[{x}\right]}\//{\left({p}\right)} \) su campo \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \), e quest'ultima è uguale al grado di \( \displaystyle {p} \).

Quindi il tutto punta alla ricerca di un polinomio irriducibile su \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \), monico, che si annulli in \( \displaystyle \alpha \).

Allora in questo caso l'ordine \( \displaystyle {\left[\mathbb{Z}_{{3}}{\left(\alpha\right)}:\mathbb{Z}_{{3}}\right]}={3} \) perché il mio polinomio \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={{x}}^{{3}}-{x}-{1}\in{\mathbb{{{Z}}}}_{{3}}{\left[{x}\right]} \) è di grado \( \displaystyle {3} \), giusto?
Nel caso invece avessi avuto lo stesso esercizio, ma considerando il seguente polinomio \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}}={{x}}^{{4}}+{x}+{1}\in\mathbb{Z}_{{3}}{\left[{x}\right]} \), non avrei avuto \( \displaystyle {\left[\mathbb{Z}_{{3}}{\left(\alpha\right)}:\mathbb{Z}_{{3}}\right]}={4} \) perché \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}} \) non è irriducibile. Dunque poiché \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}} \) si può fattorizzare in \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}}={\left({x}-{1}\right)}{\left({{x}}^{{3}}+{{x}}^{{2}}+{x}+{2}\right)} \) ed il secondo fattore è irriducibile in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}}{\left[{x}\right]} \), allora ottengo \( \displaystyle {\left[\mathbb{Z}_{{3}}{\left(\alpha\right)}:\mathbb{Z}_{{3}}\right]}={3} \).
Mi potresti per favore confermare o smentire la correttezza del mio ragionamento?

[ea2]

ma scusate l'intromissione..l'ordine del campo di spezzamento è la dimensione della base del campo di spezzamento visto come spazio vettoriale. quindi teoricamente si tratta di contare gli elementi del tipo \( \displaystyle {a} \)+\( \displaystyle \alpha \) \( \displaystyle {b} \) che siccome siamo in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \) sono 9. (3 per a e 3 per b) mi sbaglio?