Algebra

[marcus112]

Ho studiato insiemistica ma mi sfugge! Ho capito che si tratta dell'insieme potenza ma ho dubbi.
Descrivere
gli insiemi P(P((1))) ; P(P(P(1))))


il numero 1 è chiuso tra parentesi graffe, ma non sapevo come farla.

Grazie

[vict85]

L'insieme delle parti di un insieme di un elemento è un insieme di due elementi. L'insieme delle parti di un insieme di due elementi ha 4 elementi...

[marcus112]

Quindi se io scrivessi P(P(P(P(1))))) significa che l'insieme delle parti di un insieme di 3 elementi ha 6 elementi?

Mi puoi delucidare sul tipo di sintassi usato per mezzo delle parentisi e scriverlo sotto un'altra forma?

[adaBTTLS]

no, non si fa "per due".
l'insieme delle parti di un insieme di \( \displaystyle {n} \) elementi ha \( \displaystyle {{2}}^{{n}} \) elementi.
dunque \( \displaystyle {\left|{P}{\left({\left\lbrace{1}\right\rbrace}\right)}\right|}={2},{\left|{P}{\left({P}{\left({\left\lbrace{1}\right\rbrace}\right)}\right)}\right|}={4},{\left|{P}{\left({P}{\left({P}{\left({\left\lbrace{1}\right\rbrace}\right)}\right)}\right)}\right|}={16},{\left|{P}{\left({P}{\left({P}{\left({P}{\left({\left\lbrace{1}\right\rbrace}\right)}\right)}\right)}\right)}\right|}={{2}}^{{16}} \).
spero sia chiaro. conosci la formula della cardinalità dell'insieme delle parti?
ciao.

[marcus112]

Conosco la formula della cardinalità dell'insieme delle parti...
Per esempio se un insieme A=(a;b;c) non so fare le parentesi graffe...

si applica la formula per cui si ha 2^3 per cui gli elementi saranno 8.
Quello che non ho chiaro è questo: con l'altro tipo di sintassi da te per esempio usata,
come faccio a capire quanti sono gli elementi per applicare la formula? Per esempio dalla scrittura P(P(P(1)))) ho capito
dal tuo esempio che gli elementi sono 4 per cui 4^2= 16 Ma ho ancora delle perplessità.
Spero di essermi spiegato!
Grazie mille

[vict85]

Una formula non ricorsiva non la conosco

0 --- \( \displaystyle {{2}}^{{0}}={1} \)
1 --- \( \displaystyle {{2}}^{{1}}={2} \)
2 --- \( \displaystyle {{2}}^{{2}}={4} \)
3 --- \( \displaystyle {{2}}^{{4}}={16} \)
4 --- \( \displaystyle {{2}}^{{16}} \)
5 --- \( \displaystyle {{2}}^{{{{2}}^{{16}}}} \)

Le graffe nelle formule si fanno così: \{ \}

In wondows, per far venire la graffa ci sono tre modi:
ALT (tieni premuto) + 1 2 3 (uno dopo l'altro) {
ALT (tieni premuto) + 1 2 5 (uno dopo l'altro) }

CTRL+ALT+MAIUSC+'è'(quello dove ci sono le parentesi graffe) {
CTRL+ALT+MAIUSC+'+'(quello dove ci sono le parentesi graffe) }

ALT GR+MAIUSC+'è'(quello dove ci sono le parentesi graffe) {
ALT GR+MAIUSC+'+'(quello dove ci sono le parentesi graffe) }

Gli ultimi due sono praticamente lo stesso metodo.

Per attivare le formule devi mettere tra dollari e usare la sintassi latex o che trovi scritta in "il nostro forum".

[Martino]

Provo a dirlo anch'io.

In generale se \( \displaystyle {X} \) e' un insieme allora \( \displaystyle {\left|{P}{\left({X}\right)}\right|}={{2}}^{{{\left|{X}\right|}}} \).


\( \displaystyle {\left\lbrace{1}\right\rbrace} \) ha \( \displaystyle {1} \) elemento.

\( \displaystyle {A}={P}{\left({\left\lbrace{1}\right\rbrace}\right)} \) e' l'insieme delle parti di \( \displaystyle {\left\lbrace{1}\right\rbrace} \) (che ha \( \displaystyle {1} \) elemento) quindi ha \( \displaystyle {{2}}^{{{\left|{\left\lbrace{1}\right\rbrace}\right|}}}={2} \) elementi.

\( \displaystyle {P}{\left({P}{\left({\left\lbrace{1}\right\rbrace}\right)}\right)}={P}{\left({A}\right)}={B} \) e' l'insieme delle parti di \( \displaystyle {A} \) (che ha \( \displaystyle {2} \) elementi) quindi ha \( \displaystyle {{2}}^{{{\left|{A}\right|}}}={{2}}^{{2}}={4} \) elementi.

\( \displaystyle {P}{\left({P}{\left({P}{\left({\left\lbrace{1}\right\rbrace}\right)}\right)}\right)}={P}{\left({B}\right)} \) e' l'insieme delle parti di \( \displaystyle {B} \) (che ha \( \displaystyle {4} \) elementi) quindi ha \( \displaystyle {{2}}^{{{\left|{B}\right|}}}={{2}}^{{4}}={16} \) elementi.

[adaBTTLS]

Quello che non ho chiaro è questo: con l'altro tipo di sintassi da te per esempio usata,
come faccio a capire quanti sono gli elementi per applicare la formula? Per esempio dalla scrittura P(P(P(1)))) ho capito
dal tuo esempio che gli elementi sono 4 per cui 4^2= 16 Ma ho ancora delle perplessità.

ormai ti hanno risposto altri, però 16 viene da 2^4 e non da 4^2. il simbolo di valore assoluto usato con gli insiemi indica la cardinalità, cioè il numero degli elementi nel caso di insiemi finiti. dunque |{1}|=1, da cui l'insieme delle parti di {1} ha 2^1=2 elementi.
se segui le indicazioni di Martino, avrai un nuovo insieme di partenza di 2 elementi, il cui insieme delle parti avrà 2^2=4 elementi.
l'insieme delle parti di quest'ultimo insieme avrà 2^4=16 elementi, e l'ultimo che ti ho scritto io avrà 2^16 elementi.

dunque come ti suggeriva vict85 si arriverà a \( \displaystyle {\left|{P}{\left({P}{\left({P}\ldots.{\left({P}{\left({\left\lbrace{1}\right\rbrace}\right)}\right)}\ldots.\right)}\right)}\right|}={{2}}^{{{{2}}^{{{{2}}^{{{\ldots}^{{{{2}}^{{{{2}}^{{1}}}}}}}}}}}} \) , dove ci sono tanti P quanti 2 ...

spero sia chiaro. ciao.