Algoritmo di eliminazione di gauss per ris. sistemi lineari

[Neptune]

Salve a tutti,
avrei dei dubbi per quel che riguarda la risoluzione di sistemi lineari mediante l'algoritmo di eliminazione di gauss. Vi riscrivo tutti i passi fatti a lezione cosichè vi possa sottolineare i passaggi che non mi sono chiari.

Il nostro sistema è del tipo \( \displaystyle {A}\cdot{x}={b} \)

Poniamo \( \displaystyle {A}_{{1}}={A} \) , \( \displaystyle {b}_{{1}}={b} \) ed otteniamo

\( \displaystyle {A}_{{1}}\cdot{x}={b}_{{1}} \)

A questo punto dice che se pre-moltiplichiamo ambo i membri per L1 otteniamo quindi:

\( \displaystyle {A}_{{2}}\cdot{x}={b}_{{2}} \)

dove ovviamente \( \displaystyle {L}_{{1}}\cdot{A}_{{1}}={A}_{{2}} \) e \( \displaystyle {L}_{{1}}\cdot{b}_{{1}}={b}_{{2}} \)

A questo punto dice che al passo k-esimo avremo

\( \displaystyle {A}_{{k}}\cdot{x}={b}_{{k}} \)

che riscrive come:

\( \displaystyle {A}_{{k}}\cdot{x}-{b}_{{k}}={0} \)

A questo punto fa un passaggio che mi sfugge, ovvero dice che quanto scritto sopra è equivalente a:

\( \displaystyle {\left[{A}_{{k}}{b}_{{k}}\right]}\cdot{{\left[{x}-{1}\right]}}^{{t}}={0} \)

Non capisco come ci ritroviamo ad accorpare il vettore \( \displaystyle {b}_{{k}} \) nella matrice \( \displaystyle {A}_{{k}} \)

Poi prosegue moltiplicando tutto per Lk ed anche questo passaggio mi sfugge, cioè non riesco a capire con quest'utlimo passo cosa vogliamo dimostrare, ovvero dicendo che:

\( \displaystyle {\left[{L}_{{k}}\cdot{A}_{{k}}{L}_{{k}}\cdot{b}_{{k}}\right]}\cdot{{\left[{x}-{1}\right]}}^{{t}} \)

Infine vedo che nell'applicazione pratica di questo algoritmo noi non facciamo altro che applicare la fattorizazione LU sulla matrice completa (ovvero sulla matrice dei coefficenti con l'aggiunta di una colonna, ovvero il vettore dei valori noti) e trovarci semplicemente la matrice U ed il vettore c per poi calcolarci semplicemente il sistema \( \displaystyle {U}\cdot{x}={c} \) mediante l'algoritmo di sostituzione all'indietro.

Cioè mi sfugge nell'applicazione dell'algoritmo il vettore \( \displaystyle {{\left[{x}-{1}\right]}}^{{t}} \) che fine fa? a lezione noi moltiplichiamo \( \displaystyle {U}\cdot{x} \) semplicemente, ma non abbiamo più \( \displaystyle {{\left[{x}-{1}\right]}}^{{t}} \).

Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.

[vict85]

Sto cercando di capire quella parte comunque attenzione: tu non stai facendo la fattorizzazione LU, seppur il metodo sia pressoché identico. In pratica arrivi a \( \displaystyle Ux = L^{-1}b \) dove \( \displaystyle U = A_k \) e \( \displaystyle L^{-1}b = b_k \) e \( \displaystyle A = LU \) .
Quello che fai è portare la matrice completa ad una triangolare superiore attraverso trasformazioni elementari. I discorsi con la trasposta mi sfuggono e non ne capisco l'utilità.

Quando fai la trasformazione \( \displaystyle LU \) , \( \displaystyle b \) non lo prendi in considerazione. In realtà comunque esistono più modi equivalenti per portare una matrice quadrata \( \displaystyle A \) in forma \( \displaystyle LU \) (e il risultato è unico a meno della scelta di una diagonale).

Su quale libro stai studiando?