Altro Integrale DUBBIO

[nunziox]

\( \displaystyle \int\int\int_{{T}}{\left({y}\frac{\sqrt{{{z}}}}{{{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}}}\right)}{\left.{d}{x}\right.}{\left.{d}{y}\right.}{\left.{d}{z}\right.} \)

\( \displaystyle {T}={\left\lbrace{\left({x},{y},{z}\right)}\in{{R}}^{{3}}:{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}+{{z}}^{{2}}\le{1},{z}\ge{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}\right\rbrace} \)

Come agisco qua? Uso le cilindriche?

[andreabs85]

Non ho fatto integrali tripli, ma forse nella definizione dell'insieme potrebbero essere migliori le sferiche...che dici? Mi sembra che sia l'intersezione di una sfera centrata nell'origine con un paraboloide. Cioè ovviamente intendo una sfera piena ed una porzione di piano delimitata da un paraboloide.

[ciampax]

Io invece direi che è meglio usare le cilindriche, a causa della presenza del paraboloide nelle dafinizione del dominio T: le condizioni diventano

\( \displaystyle {T}'={\left\lbrace{\rho}^{{2}}+{{z}}^{{2}}\le{1},\ {z}\ge{\rho}^{{2}},\ \theta\in{\left[{0},{2}\pi\right]}\right\rbrace} \)

e l'integrale si semplifica molto. Per determinare la forma corretta di \( \displaystyle {T}' \), conviene disegnarlo e ricordare che \( \displaystyle \rho\ge{0} \) per definizione.