altro integrale

[Bob_inch]

\( \displaystyle \int\sqrt{{{8}-{{x}}^{{2}}}} \)

mi sono imbrogliato ponendo \( \displaystyle {x}=\sqrt{{8}}{s}{e}{n}{t} \)

secondo voi come andrebbe fatto?

[Tipper]

Va bene così.

[Bob_inch]

e dopo un po' di calcoli mi spunta \( \displaystyle {s}{e}{n}{2}{t} \) ... come procedo???

[Tipper]

E che problema è? Una primitiva di \( \displaystyle {\sin{{\left({2}{t}\right)}}} \) è \( \displaystyle -{\frac{{{1}}}{{{2}}}}{\cos{{\left({2}{t}\right)}}} \).

[Bob_inch]

e siamo sempre lì, non riesco a smuovermi....

[Tipper]

Mi fai vedere qual è il passaggio dal quale non ti smuovi?

[Bob_inch]

\( \displaystyle \frac{{3}}{{4}}{s}{e}{n}{\left({2}{t}\right)} \) con \( \displaystyle {t}={a}{r}{c}{s}{e}{n}{\left(\frac{{x}}{\sqrt{{3}}}\right)} \)

[Tipper]

Ma come hai fatto ad arrivare lì? L'integrale diventa

\( \displaystyle \sqrt{{{8}}}\int{\left|{\cos{{\left({t}\right)}}}\right|}{\cos{{\left({t}\right)}}}{\left.{d}{t}\right.} \)

[Bob_inch]

e là anch'io ci sono arrivato... poi ho applicato le formule di bisezione

[Tipper]

Cioè ti viene \( \displaystyle \sqrt{{{8}}}{\left({\frac{{{1}}}{{{2}}}}+{\frac{{{1}}}{{{2}}}}{\cos{{\left({2}{t}\right)}}}\right)} \), e una primitiva è \( \displaystyle \sqrt{{{8}}}{\left({\frac{{{1}}}{{{2}}}}{t}+{\frac{{{1}}}{{{4}}}}{\sin{{\left({2}{t}\right)}}}\right)} \). Ora ti ricavi \( \displaystyle {t} \) e ce lo sostituisci, che problema c'è?