[Ammissione Sissa '05] Analisi 1

[Steven]

Un semplice quesito di sei anni fa per l'ammissione.
Praticamente il punto a) è banale, il b) semplice e il c) anche alla luce del suggerimento che il testo stesso decide di dare.

Problema

Sia \( \displaystyle f : (0, \infty) \to \mathbb{R} \) funzione di classe \( \displaystyle C^1 \) per cu vale, in ogni punto del dominio, \( \displaystyle f'(x)<\frac{f(x)}{x} \)

Prova quindi che

a) La funzione \( \displaystyle x \to \frac{f(x)}{x} \) è decrescente

b)Vale \( \displaystyle f'(y) < \frac{f(x)}{x} \) per \( \displaystyle x,y \in (0,\infty) \) \( \displaystyle x\leq y \)

c) \( \displaystyle f(x+y) \leq f(x) + f(y) \quad \forall x,y \in (0,\infty) \)

Il suggerimento che il testo dà per c) è

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Stimare \( \displaystyle \int_{y}^{x+y} f'(t)dt \) con \( \displaystyle x\leq y \) e usando i p.ti precedenti.

[j18eos]

Inizio dal punto a!

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Sia \( \displaystyle g:x\in(0;+\infty)\to\frac{f(x)}{x}\in\mathbb{R} \) , è \( \displaystyle \frac{d}{dx}g(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=\frac{x\big[f'(x)-\frac{f(x)}{x}\big]}{x^2}=\frac{\big[f'(x)-\frac{f(x)}{x}\big]}{x}<0 \) da cui l'asserto.

Per il punto b!

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Essendo dal punto a \( \displaystyle \forall x\leq y\in(0;+\infty),\,\frac{f(x)}{x}=g(x)\geq g(y)=\frac{f(y)}{y}>f'(y) \) da cui l'asserto!

Per il punto c... è arrivata mia mamma e se non l'aiuto a cucinare saranno dolori. A dopo!

[Gi8]

Proposta per il punto c:

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Sia $M=s u p_(t in [y,x+y]) f'(t)$
Poichè $f'$ è continua per ipotesi, $EE xi in [y,x+y]$ tale che $f'(xi)=M$
Notiamo che $xi>=y>=x=>$ Il punto b) ci garantisce che $f'(xi)< f(x)/x$

$f(x+y)-f(y)=int_(y)^(x+y) f'(t)dt<=int_(y)^(x+y) f'(xi)dt=f'(xi)*(x+y-y)=f'(xi)*x<f(x)/x*x=f(x)$

Cioè $f(x+y)<f(x)+f(y)$

[j18eos]

Esatto!
Un commento per dispiegare il ragionamento che vi è dietro, almeno a questo punto.

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Dato l'indizio ed il dover dimostrare una diseguaglianza è naturale voler maggiorare il dato integrale col massimo dell'integrando.

Perché non provi a dimostrare diversamente gli altri punti?

[Gi8]

Un'idea su una dimostrazione alternativa del punto a) ce l'ho, ma mi manca qualcosa.
Nel frattempo volevo chiederti io una delucidazione.
Quando hai dimostrato il punto a) hai scritto che

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Sia \( \displaystyle g:x\in(0;+\infty)\to\frac{f(x)}{x}\in(0;+\infty) \)

Non ho capito perchè il codominio è \( \displaystyle (0,+\infty) \)

[j18eos]

Errore di battitura, ricordavo che tale era anche il codominio di \( \displaystyle f \) !

[Gi8]

Peccato. Se $f: (0,+oo)->(0,+oo)$

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L'ipotesi $f'(x)<(f(x))/x$ è equivalente a $(f'(x))/f(x)<1/x$
Tesi: $AA 0<a<b$ si ha $f(a)/a>f(b)/b$
Dim:
$AA x in (0,+oo)$ vale $(f'(x))/f(x)<1/x$
Integrando tra $a$ e $b$ si ha $[log(f(x))]_a^b<[log(x)]_a^b> log(f(b)/f(a))<log(b/a)=> f(b)/f(a)<b/a=>f(b)/b<f(a)/a$

Ma se $f: (0,+oo)->RR$, non mi viene in mente nient'altro se non la dimostrazione proposta da te

[robbstark]

Dimostrazione alternativa per il punto C:

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Pongo senza ledere la generalità $x>=y$. Suppongo per assurdo che la tesi sia falsa:
$f(x+y)-f(x) > f(y)$
$(f(x+y)-f(x))/y > (f(y))/y$
Valgono le ipotesi del teorema di Lagrange, per cui:
$EEc,y<=x<c<x+y:f'(c)=(f(x+y)-f(x))/y > (f(y))/y$
Ciò va in contrasto col punto 2. Quindi la tesi era vera.