esiste un metodo per determinare una stima del punto d'innesco del metodo iterativo di Newton per sistemi di funzioni non lineari a piu variabili affinchè l'algoritmo converga sicuramente alla soluzione?
se si, qual è?
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da david_e » 01/02/2006, 22:28
Nel caso di una singola equazione si ha:
Il metodo di Newton si puo' scrivere nella forma
\( \displaystyle {x}_{{{k}+{1}}}=\phi{\left({x}_{{k}}\right)} \)
Dove:
\( \displaystyle \phi{\left({x}\right)}={x}-\frac{{{f{{\left({x}\right)}}}}}{{{f{'}}{\left({x}\right)}}} \)
Il metodo converge nell'ipotesi che l'\( \displaystyle {x}_{{0}} \) punto di innesco
(non l'ho mai sentito chiamare cosi') appartenga all'insieme:
\( \displaystyle {R}:={\left\lbrace{x}\in\mathbb{R}\ :\ {\left|\phi'{\left({x}\right)}\right|}\lt{1}\right\rbrace} \)
In quel caso il teorema delle contrazioni garantisce che esiste una sola soluzione del problema:
\( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={0} \) (1)
contenuta in \( \displaystyle {R} \) e che:
\( \displaystyle \lim_{{{k}\to\infty}}{x}_{{k}}={{x}}^{\cdot} \)
Dove \( \displaystyle {{x}}^{\cdot} \) e' la soluzione esatta di (1).
Nel caso di sistemi il discorso e' analogo. Solo che al posto di \( \displaystyle \phi \) c'e' una funzione vettoriale e \( \displaystyle {R} \) diventa:
\( \displaystyle {R}\:={\left\lbrace{\vec{{x}}}\in{\mathbb{R}}^{{n}}\ :\ {\left|{\det{{J}}}{\left({\vec{{x}}}\right)}\right|}\lt{1}\right\rbrace} \)
Dove \( \displaystyle {J} \) e' la matrice Jacobiana di \( \displaystyle {\vec{\phi}} \).
Alcune considerazioni:
1. Questa e' una condizione sufficiente, ma non necessaria alla convergenza.
2. Questa condizione in pratica e' ASSOLUTAMENTE INUTILE. Visto che trovare lo Jacobiano di \( \displaystyle {\vec{\phi}} \) e' MOOOOLTO piu' complicato che risolvere la (1)....
3. L'insieme \( \displaystyle {Q} \) (quello ``vero'' per cui \( \displaystyle {\vec{{x}}} \) converge (\( \displaystyle {R}\subset{Q} \))) associato ad ogni singola radice di (1) potrebbe essere MOLTO brutto. Spesso addirittura questi \( \displaystyle {R} \)
sono frattali...
*** EDIT ***
Una piccola correzione. Al punto 3 gli insiemi che potrebbero essere frattali sono quelli di convergenza o meno della successione delle \( \displaystyle {\vec{{x}}}_{{k}} \) ad una certa soluzione. Gli insiemi \( \displaystyle {R} \) (che sono dei sotto-insiemi dei \( \displaystyle {Q} \)) ovviamente NON sono dei frattali.
Il metodo di Newton si puo' scrivere nella forma
\( \displaystyle {x}_{{{k}+{1}}}=\phi{\left({x}_{{k}}\right)} \)
Dove:
\( \displaystyle \phi{\left({x}\right)}={x}-\frac{{{f{{\left({x}\right)}}}}}{{{f{'}}{\left({x}\right)}}} \)
Il metodo converge nell'ipotesi che l'\( \displaystyle {x}_{{0}} \) punto di innesco
(non l'ho mai sentito chiamare cosi') appartenga all'insieme:
\( \displaystyle {R}:={\left\lbrace{x}\in\mathbb{R}\ :\ {\left|\phi'{\left({x}\right)}\right|}\lt{1}\right\rbrace} \)
In quel caso il teorema delle contrazioni garantisce che esiste una sola soluzione del problema:
\( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={0} \) (1)
contenuta in \( \displaystyle {R} \) e che:
\( \displaystyle \lim_{{{k}\to\infty}}{x}_{{k}}={{x}}^{\cdot} \)
Dove \( \displaystyle {{x}}^{\cdot} \) e' la soluzione esatta di (1).
Nel caso di sistemi il discorso e' analogo. Solo che al posto di \( \displaystyle \phi \) c'e' una funzione vettoriale e \( \displaystyle {R} \) diventa:
\( \displaystyle {R}\:={\left\lbrace{\vec{{x}}}\in{\mathbb{R}}^{{n}}\ :\ {\left|{\det{{J}}}{\left({\vec{{x}}}\right)}\right|}\lt{1}\right\rbrace} \)
Dove \( \displaystyle {J} \) e' la matrice Jacobiana di \( \displaystyle {\vec{\phi}} \).
Alcune considerazioni:
1. Questa e' una condizione sufficiente, ma non necessaria alla convergenza.
2. Questa condizione in pratica e' ASSOLUTAMENTE INUTILE. Visto che trovare lo Jacobiano di \( \displaystyle {\vec{\phi}} \) e' MOOOOLTO piu' complicato che risolvere la (1)....
3. L'insieme \( \displaystyle {Q} \) (quello ``vero'' per cui \( \displaystyle {\vec{{x}}} \) converge (\( \displaystyle {R}\subset{Q} \))) associato ad ogni singola radice di (1) potrebbe essere MOLTO brutto. Spesso addirittura questi \( \displaystyle {R} \)
sono frattali...
*** EDIT ***
Una piccola correzione. Al punto 3 gli insiemi che potrebbero essere frattali sono quelli di convergenza o meno della successione delle \( \displaystyle {\vec{{x}}}_{{k}} \) ad una certa soluzione. Gli insiemi \( \displaystyle {R} \) (che sono dei sotto-insiemi dei \( \displaystyle {Q} \)) ovviamente NON sono dei frattali.
- david_e
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- gaussz
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