[Ammissione Sissa '04] Analisi - Spazio funzioni

[Steven]

Un esercizio che ho svolto con alcuni colleghi qualche giorno fa.
Dovrei scriverlo per bene, semmai posso farlo qua in caso di soluzioni proposte differenti dalla nostra.

Esercizio

Sia \( \displaystyle X=C^1([-1,1], \mathbb{R}) \) lo spazio vettoriale delle funzioni \( \displaystyle \phi: [-1,1]\to \mathbb{R} \) derivabili con derivata continua, normato con

\( \displaystyle ||\phi||=\int_{-1}^{1} |\phi(s)|ds+\int_{-1}^{1} |\phi'(s)|ds \)

Verificare che la successione di funzioni

\[
\phi_n(s)=\begin{cases}
1+s & \text{ se } -1\le s < 0\\
1+s-\frac{ns^2}{2} & \text{ se } \quad 0\le s < \frac{1}{n} \\
1+\frac{1}{2n} & \text{ se } \quad \frac{1}{n} \le s \le 1
\end{cases}
\]

è una successione di Cauchy in \( \displaystyle X \) , ma non convergente in \( \displaystyle X \)

Penso che sia più fumo che arrosto.

Buon lavoro!

[gugo82]

Beh, dai, è abbordabilissimo.

[j18eos]

C'è una parentesi tonda di troppo nello specificare lo spazio normato \( \displaystyle X \) !

OUT OF SELF: Ringraziando il cielo non sono un astro nascente della matematica! Detto questo: le prove di ammissione SISSA e SNS sembrano solo a me per niente difficili?

[Paolo90]

Mi scuso per il necroposting.

Poiché preferisco passare per stupido piuttosto che tenermi un dubbio, domando: l'esercizio è "più fumo che arrosto" e "abbordabilissimo" nel senso che "basta fare i conti": ho capito bene?

Ora non sto a postare tutti i conti (che ho fatto qui su un foglietto), ma la risoluzione procede in questo modo: uno si fa un disegnino per capire come vanno le cose e si calcola il limite puntuale (che è una funzione non derivabile in 0).

Quindi si mette lì con calma e si fa un po' di conticini: presi due interi $n > m$, si calcola \( \displaystyle \Vert \phi_n - \phi_m\Vert \) e alla fine si fa vedere che questa quantità va a $0$ quando $m,n$ sono abbastanza grandi.

E' corretto? Ho frainteso qualcosa?
Ringrazio.

[j18eos]

Ma quale necroposting???

Comunque il procedimento per risolverlo è quello che hai esposto!

[Paolo90]

Grazie mille, Armando.

[gugo82]

Esercizio

Sia \( \displaystyle X=C^1([-1,1], \mathbb{R}) \) lo spazio vettoriale delle funzioni \( \displaystyle \phi: [-1,1]\to \mathbb{R} \) derivabili con derivata continua, normato con

\( \displaystyle ||\phi||=\int_{-1}^{1} |\phi(s)|ds+\int_{-1}^{1} |\phi'(s)|ds \)

Verificare che la successione di funzioni

\[
\phi_n(s)=\begin{cases}
1+s & \text{ se } -1\le s < 0\\
1+s-\frac{ns^2}{2} & \text{ se } \quad 0\le s < \frac{1}{n} \\
1+\frac{1}{2n} & \text{ se } \quad \frac{1}{n} \le s \le 1
\end{cases}
\]

è una successione di Cauchy in \( \displaystyle X \) , ma non convergente in \( \displaystyle X \)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Non è difficile verificare che le \(\phi_n\) sono di classe \(C^1\) (basta fare un disegno: le \(\phi_n\) sono ottenute raccordando "bene" tratti di retta mediante un arco di parabola), né che \(\|\cdot \|\) è una norma su \(C^1([-1,1])\); quindi passiamo avanti.

Si scelgano \(n,p\in \mathbb{N}\) e si consideri la funzione \(\phi_{n+p}-\phi_n\): evidentemente:
\[
\| \phi_{n+p}-\phi_n\| = \| \phi_{n+p}-\phi_n\|_1 +\| \phi_{n+p}^\prime -\phi_n^\prime\|_1
\]
dunque basta calcolare esplicitamente le due norme \(L^1\) che figurano al secondo membro e mostrare che entrambe vanno a zero uniformemente rispetto a \(p\) per ottenere la proprietà di Cauchy.

Si ha:
\[
\begin{split}
\| \phi_{n+p}^\prime -\phi_n^\prime \|_1 &= \int_0^{1/(n+p)} | 1-(n+p) s-1+ns|\ \text{d} s + \int_{1/(n+p)}^{1/n} |1-ns|\ \text{d} s\\
&= p\ \int_0^{1/(n+p)} s\ \text{d} s + \int_{1/(n+p)}^{1/n} (1-ns)\ \text{d} s\\
&= \frac{p}{2(n+p)^2} + s-\frac{n}{2}s^2\Bigg|_{1/(n+p)}^{1/n} \\
&= \frac{p}{2(n+p)^2} + \frac{p}{n(n+p)} - \frac{n}{2}\ \frac{(n+p)^2-n^2}{n^2(n+p)^2} \\
&= \frac{np+2p(n+p)-p(2n+p)}{2n(n+p)^2}\\
&= \frac{p}{2n(n+p)}\\
&= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+p} \right)\\
&\leq \frac{1}{2n}
\end{split}
\]
quindi \(\| \phi_{n+p}-\phi_n\|_1\to 0\) uniformemente rispetto a \(p\); inoltre:
\[
\begin{split}
\| \phi_{n+p} -\phi_n \|_1 &= \int_0^{1/(n+p)} \left| \frac{n+p}{2} s^2- \frac{n}{2} s^2 \right|\ \text{d} s + \int_{1/(n+p)}^{1/n} \left| \frac{1}{2(n+p)} -s+\frac{n}{2} s^2 \right|\ \text{d} s + \int_{1/n}^1 \left| \frac{1}{2(n+p)}-\frac{1}{2n}\right|\ \text{d} s\\
&= \frac{p}{6(n+p)^3} + \frac{p^2(3n+2p)}{6n^2(n+p)^3} + \frac{p(n-1)}{2n^2(n+p)}
\end{split}
\]
(se non ho sbagliato i conti), quindi per \(p\to \infty\) si ha:
\[
\| \phi_{n+p} -\phi_n \|_1 \approx \frac{1}{3n^2} + \frac{n-1}{2n^2}
\]
perciò anche \(\| \phi_{n+p} -\phi_n \|_1 \to 0\) uniformemente rispetto a \(p\). Ciò è quanto volevamo.

Per concludere, basta far vedere che il limite di \(\phi_n\) non sta in \(C^1\).
Ovviamente, bisogna farsi un'idea di chi sia il limite: in proposito notiamo che la successione assegnata converge puntualmente verso la funzione:
\[
\phi (x) := \begin{cases} 1+s &\text{, se } -1\leq s<0\\
1 &\text{, se } 0\leq s\leq 1
\end{cases}
\]
perciò abbiamo un "candidato" ad essere il limite di \((\phi_n)\) rispetto alla norma \(\| \cdot\|\).
Ovviamente adesso bisogna verificare che risulta \(\| \phi_n - \phi\| \to 0\), i.e. che valgono le relazioni:
\[
\| \phi_n-\phi \|_1 \to 0 \quad \text{e} \quad \| \phi_n^\prime -\phi^\prime \|_1 \to 0
\]
ove \(\phi^\prime\) è la derivata classica di \(\phi \), che esiste q.o. in \([-1,1]\).
Si ha:
\[
\begin{split}
\| \phi_n - \phi \|_1 &= \int_0^{1/n} \left( s-\frac{n}{2} s^2\right)\ \text{d} s + \int_{1/n}^1 \frac{1}{2n}\ \text{d} s\\
&= \frac{1}{2n^2} - \frac{n}{6n^3} + \frac{n-1}{2n^2}\\
&= \frac{3n-1}{6n^2}\\
\| \phi_n^\prime -\phi^\prime \|_1 &= \int_0^{1/n} (1-ns)\ \text{d} s\\
&= \frac{1}{n} - \frac{n}{2n^2}\\
&= \frac{1}{2n}
\end{split}
\]
che è quanto volevamo.
Dato che \(\phi\) non è in \(C^1([-1,1])\) ciò chiude l'esercizio.

P.S.: Ovviamente il completamento di \(C^1([-1,1])\) rispetto alla norma assegnata è \(W^{1,1}(-1,1)\) ed il limite \(\phi\) della successione \((\phi_n)\) sta in quest'ultimo spazio.

Probabilmente, però, si può risolvere facendo meno conti...