Ancora interi

[Delirium]

Determinare tutte le terne \( \displaystyle (m,n,p) \) tali che \( \displaystyle p^{n} + 144=m^{2} \) , dove \( \displaystyle m \) e \( \displaystyle n \) sono interi positivi e \( \displaystyle p \) è intero primo.

Prove it!

[xXStephXx]

Provinciali di quale anno?
Apparte gli scherzi (anche se lo conoscevo già), metto uno spoiler

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Scomponete in fattori e calcolate la differenza tra i due fattori.

[Delirium]

In realtà l'ho preso dalle dispense che hai segnalato tu qualche tempo fa.
Purtroppo ho frequentato l'unico liceo della provincia non iscritto al progetto delle Olimpiadi, sebbene i cervelli (prof.) che girano all'interno dell'istituto avrebbero potuto, a mio avviso, preparare una squadra con in fiocchi. Indi per cui mi sono sempre divertito per conto mio.

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Tanto per curiosità, quante terne ti risultano?

[xXStephXx]

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http://www.oliforum.it/viewtopic.php?f=15&t=16061

[Delirium]

Perfetto. Ho dato un'occhiata alla tua soluzione; domani (o meglio, oggi) ti illustro la mia.

[Richard_Dedekind]

Interessante, molto interessante. Premetto che non ho visto i vostri suggerimenti, ci sta che esista un metodo migliore. Questo è quello standard per le equazioni diofantee non lineari sufficientemente semplici.

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Direi che si potrebbe fare così, riscrivendo la relazione in maniera diversa:
\( (m-12)(m+12)=p^n\)
Allora per il teorema di fattorizzazione essenzialmente unica \(\exists\,\alpha,\beta\in\mathbb{N}\) tali che \(p^\alpha=m-12,\,\,p^\beta=m+12\) con \(\alpha+\beta=n\). Ora, sottraendo memebro a membro, \(p^\beta -p^\alpha = 24\Rightarrow p^\alpha(p^{\beta-\alpha}-1)=24\). Tuttavia, \(p^\alpha\,|\,24\iff p^\alpha=2,3,4,8\) e se ci mettiamo a provare le varie combinazioni troviamo che le uniche possibili sono per \(p^\alpha=3,p^\alpha=8\Rightarrow p=3,2\,,\alpha=1,3\) e dànno \(p^\beta=27\Rightarrow p=3,\beta=3\,\,\,p^\beta=32\Rightarrow p=2,\beta=5\). Dunque alcuni valori possibili di \(p\) ed \(n=\alpha+\beta\) sono:
\( \displaystyle p=3\,,n=1+3=4;\,\,\,\,p=2\,,n=3+5=8 \)
C'è un altro caso che va preso in considerazione: se \(p^\alpha=1\iff \alpha=0\) si può avere \(p^\beta - 1=24\iff p^\beta=25\iff p=5,\beta=2\). Questo fornisce i valori di \(p=5,n=2\). In conclusione, non potendoci essere altri casi possibili, le uniche terne che verificano l'uguaglianza sono:
\[(3,4,15),(2,8,20),(5,2,13)\]

[Delirium]

Corretto. Unica piccola nota: hai invertito l'ordine dei numeri.
Io ho utilizzato la medesima tua strategia, pertanto fornisco solo delle indicazioni [in spoiler].

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Posto \( \displaystyle p^{n}=(m-12)(m+12) \ \rightarrow \ p \cdot p^{n-1}=(m-12)(m+12) \) si possono a ragion veduta considerare corrette le uguaglianze del sistema \( \displaystyle \begin{cases} p=m-12 \\ p^{n-1}=m+12\end{cases} \) da cui si ottiene \( \displaystyle p(p^{n-2} - 1)=24 \) . La fattorizzazione unica di \( \displaystyle 24 \) suggerisce che \( \displaystyle p \) può essere uguale soltanto a \( \displaystyle 2 \) (caso che si esclude in principio poiché si avrebbe poi \( \displaystyle 2^{n-2}=13 \) , uguaglianza verificata soltanto per valori di \( \displaystyle n \) non interi, contro le ipotesi iniziali) o \( \displaystyle 3 \) . La prima terna sarà quindi \( \displaystyle (15,4,3) \) . Procedendo mediante la medesima tecnica si intuisce che è opportuno fermarsi all'analisi dell'uguaglianza \( \displaystyle p^{3}(p^{n-6}-1)=24 \) , in quanto i fattori primi nei quali si scompone \( \displaystyle 24 \) hanno esponente massimo pari a \( \displaystyle 3 \) .
Da analizzarsi anche il caso in cui \( \displaystyle \begin{cases}1=m-12 \\ p^{n}=m+12 \end{cases} \) .

[Richard_Dedekind]

Oddio, scusa, ho scritto \((p,n,m)\) invece di \((m,n,p)\). Ora metto in spoiler.

[Delirium]

Quali sono le coppie di interi primi \( \displaystyle (p,q) \) che verificano l'equazione \( \displaystyle [1] \ p^{2} + pq +275p + 10q=2008 \) ?

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La \( \displaystyle [1] \) può essere scritta anche come \( \displaystyle q=\frac{2008-275p-p^{2}}{10+p} \) che diviene, operando la divisione tra i due polinomi, \( \displaystyle q=\frac{4658}{p+10} - p - 265 \) . Poiché entrambi i numeri che si cercano devono essere interi, sarà necessario che anche \( \displaystyle \frac{4658}{p+10} \) lo sia; e affinché ciò avvenga si deve avere che \( \displaystyle 4658=k(p+10) \) , con \( \displaystyle k \) intero. Pertanto \( \displaystyle p+10 \) potrà essere uguale a \( \displaystyle 2,17,34,137,274,2329,4658 \) ; quindi:
\( \displaystyle p=-8 \quad \rightarrow \quad \mathrm{non} \ \mathrm{accettabile} \)
\( \displaystyle p=7 \quad \Rightarrow \quad q=2 \quad \mathrm{accettabile} \)
\( \displaystyle p=24 \quad \rightarrow \quad \mathrm{non} \ \mathrm{accettabile} \)
\( \displaystyle p=127 \rightarrow \quad q=-358 \quad \mathrm{non} \ \mathrm{accettabile} \)
\( \displaystyle p=264 \quad \rightarrow \quad \mathrm{non} \ \mathrm{accettabile} \)
\( \displaystyle p=2319 \quad \rightarrow \quad \mathrm{non} \ \mathrm{accettabile} \)
\( \displaystyle p=4648 \quad \rightarrow \quad \mathrm{non} \ \mathrm{accettabile} \)

Ergo l'unica coppia di primi che soddisfa la \( \displaystyle [1] \) è \( \displaystyle (7,2) \) .

[xXStephXx]

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Facendo la congruenza modulo 2 si deduce che almeno uno tra p e q deve essere pari e di conseguenza uguale a 2 dato che sono numeri primi. A quel punto viene una normale equazione scolastica

Vabbè è meglio la tua soluzione xd