Il discorso è perfettamente convincente.
Il fatto è che ho preso l'esercizio da un libro, il Salsa-Pagani 1998,
Analisi matematica II, pag. 229.
Cito:
Sia data l'equazione $y'=2tsqrt(1-y^2)$.
Le due rette $y=+-1$ sono soluzioni. Le altre sono date dalla formula
$int\frac{1}{sqrt(1-y^2)}\ dy =2intt\ dt+c$
ossia
$y=sin(t^2+c)$. (**)
Si noti che le rette $y=+-1$ costituiscono l'inviluppo della famiglia (**) come è facile verificare. Inoltre esse costituiscono la frontiera dell'insieme di definizione di $f(t,y)=2tsqrt(1-y^2)$ e pertanto non rientrano nella teoria ecc... (si riferisce ai teoremi di esistenza e unicità)
Ma questo è un errore, visto che come faceva notare V.G.E. le soluzioni devono essere crescenti per $t>0$ e decrescenti per $t<0$?
P.S:Se questo fosse un errore, il colpevole sarebbe il metodo orang-utang?
Dico questo perché a quella soluzione si arriva dividendo brutalmente per $sqrt(1-y^2)$, senza tenere presente che deve essere $y!=+-1$. Si arriva a $arcsin(y(t))=t^2+c$, ma questo deve essere vero in un intervallo aperto t.c. $arcsin(y(t))$ non raggiunge massimo e minimo $+-pi/2$. Quindi quando invertiamo per arrivare a $y(t)=sin(t^2+c)$, questo sarà vero per $t^2+c!=pi/2+kpi$. Ovvero, la soluzione trovata è solo un arco di sinusoide, non tutta una sinusoide. Questa poi si raccorda in maniera liscia con le costanti, e non può cambiare la monotonia. Il resto segue come diceva V.G.E.: le soluzioni sono tutte di tipo: una retta, oppure una semiretta, un arco di sinusoide, un'altra semiretta. (a parte in un intorno di $t=0$ dove può esserci un cambio di monotonia).
(edit)tolto un "crescente" di troppo.