Anelli e Ideali

[alvinlee88]

Buongiorno a tutti, ho questo esercizio, di cui non possiedo la soluzione,e volevo vedere cosa proponeva il forum, per confrontare con la mia.
Siano \( \displaystyle {A} \) e\( \displaystyle {B} \) anelli commutativi con unita', \( \displaystyle {f{:}}{A}\to{B} \) un omomorfismo surgettivo (di anelli). Dire se sono vere o false le seguenti affermazioni
1)\( \displaystyle {M} \) ideale massimale di \( \displaystyle {A} \) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle {f{{\left({M}\right)}}} \) ideale massimale di \( \displaystyle {B} \)
2)\( \displaystyle {N} \) ideale massimale di \( \displaystyle {B} \) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle {{f}}^{{-{1}}}{\left({N}\right)} \) ideale massimale di \( \displaystyle {A} \)
3)Tutti gli ideali massimali \( \displaystyle {N} \) di \( \displaystyle {B} \) sono della forma \( \displaystyle {f{{\left({M}\right)}}} \) con \( \displaystyle {M} \) opportuno ideale massimale di \( \displaystyle {A} \).
4)Tutti gli ideali massimali \( \displaystyle {M} \) di \( \displaystyle {A} \) sono della forma \( \displaystyle {M}={{f}}^{{-{1}}}{\left({N}\right)} \), con \( \displaystyle {N} \) opportuno ideale massimale di \( \displaystyle {B} \).
NOTA: Un ideale \( \displaystyle {I} \) di un anello \( \displaystyle {A} \) si dice massimale se e proprio (ovvero diverso da \( \displaystyle {\left\lbrace{0}\right\rbrace} \) e da \( \displaystyle {A} \)) e se l unico ideale che lo contiene propriamente e \( \displaystyle {A} \) stesso.

[Martino]

In pratica stai chiedendo se è vero che gli ideali massimali di \( \displaystyle {A}\//{I} \) sono gli ideali massimali di \( \displaystyle {A} \) contenenti \( \displaystyle {I} \). La risposta è sì, la puoi dedurre dal teorema di corrispondenza degli ideali.

[Lorenzo Pantieri]

In pratica stai chiedendo se è vero che gli ideali massimali di \( \displaystyle {A}\//{I} \) sono gli ideali massimali di \( \displaystyle {A} \) contenenti \( \displaystyle {I} \). La risposta è sì, la puoi dedurre dal teorema di corrispondenza degli ideali.

L'ho sempre trovato un gran bel teorema, semplice e "molto astratto".

Cioa,
L.