Anelli: sugli ideali massimali (e funzioni continue)

[Paolo90]

Buongiorno a tutti.

Vorrei proporre alla vostra attenzione il seguente

Problema. Si consideri l'anello (rispetto alle usuali operazioni di somma e moltiplicazione di funzioni reali)

$mathcal R={f:RR->RR " continue su " [0,4]}$

Sia inoltre $mathcal M={f in R " tali che " f(2)=0}$. Si provi che $mathcal M$ è un ideale massimale di $mathcal R$.

Risoluzione. Che $mathcal M$ sia un ideale (bilatero, visto che $mathcal R$ è commutativo) non è difficile da provare, la verifica delle due condizioni è molto semplice e non la riporto.

Mi interessa invece di più la questione relativa all'attributo massimale.

Il libro dà un suggerimento (supporre che esista $mathcal I$ tale che...).
Ho pensato quindi di ragionare così: supponiamo esista un ideale $mathcal I$ tale $mathcal M subset mathcal I subset mathcal R$. Poichè l'inclusione è propria, significa che esiste $g(x) in mathcal I ^^ g(x) notin mathcal M$.
Quindi, $g(2)=k ne 0$, dove $k$ è un numero reale.
Posso considerare allora la funzione $h(x)$ definita da $h(x)=g(x)-k$.
Evidentemente, $h(2)=k-k=0 => h(x) in mathcal M => h(x) in mathcal I$.

La differenza di due funzioni che stanno in $mathcal I$ (ideale) sta ancora in $ mathcal I$: quindi $k in mathcal I$.
Ma dov'è il problema? Insomma, arrivato a questo punto come chiudo la faccenda?

Avevo pensato di intraprendere anche un'altra strada, visto che non riuscivo a portare a termine questa.

Ho pensato (Martino docet ) di definire un omomorfismo (suriettivo) di anelli: $phi: mathcal R to RR$ definito in questo modo: $phi(f(x))=f(2)$.

La verifica che $phi(cdot)$ definisce effettivamente un omomorfismo di anelli è abbastanza semplice: $phi((f+g)(x))=(f+g)(2)=f(2)+g(2)=phi(f(x))+phi(g(x))$ (idem con il prodotto).

Adesso noto che $Ker phi = mathcal M$: per il TFI, allora, $mathcal R // ker phi = mathcal R // mathcal M cong RR$. Perciò il quoziente è isomorfo a $RR$ e quindi è un campo. Dal fatto che $mathcal R$ è commutativo unitario segue che l'ideale è massimale.

Ci sono errori? Sono corrette entrambe le strade? Come si finisce la prima?
Vi ringrazio.

[Martino]

Corrette.

Quanto al primo procedimento, quando arrivi a trovare una funzione costante non nulla dentro l'ideale hai finito (le funzioni costanti non nulle sono invertibili!). Preferisco comunque il secondo procedimento.

Segnalo questo per approfondimenti vari

[Paolo90]

Corrette.

Quanto al primo procedimento, quando arrivi a trovare una funzione costante non nulla dentro l'ideale hai finito (le funzioni costanti non nulle sono invertibili!).

Avevo intuito che la questione riguardava questo punto.
In effetti, abbiamo visto a lezione che se porti l'unità o un elemento invertibile dentro un ideale, allora questo "scoppia" (ci hanno detto che si dice così ).

Sono scemo io, perchè pensavo che gli invertibili fossero le funzioni biiettive in $mathcal R$, perchè mi stavo confondendo con l'operazione (sono $+$ e $cdot$, non $circ$!).
Errore idiota.

Preferisco comunque il secondo procedimento.

Anche io, di gran lunga: in questo poi (l'uso del teorema fondamentale) ho avuto un ottimo maestro, se ti ricordi (d'altronde come puoi dimenticarti di me, rompiscatole come sono ?)

Segnalo questo per approfondimenti vari

Sembra molto interessante, ma è sicuramente al di sopra della mia portata.
Piuttosto, mi sa che cercherò su internet altri problemi tipo questo qua, magari qualcosina che riguarda anche lo studio dei quozienti in vista dell'esame di Algebra la prossima settimana. Hai suggerimenti in proposito, per piacere?

Ti ringrazio molto.

[Martino]

Potresti cominciare con lo studio dei quozienti di $ZZ$ e degli anelli di polinomi $RR[X]$ e $CC[X]$, domandandoti quando sono domini di integrità (cioè quando l'ideale per cui quozienti è primo) e quando sono campi (cioè quando l'ideale per cui quozienti è massimale). Poi potresti fare lo stesso lavoro con $ZZ[X]$, domandandoti anche quali ideali sono principali e quali non lo sono.
Poi un buon esercizio per capire i quozienti è dimostrare il teorema cinese del resto, enunciato in questa forma:

Teorema cinese del resto. Dati un anello commutativo A e r suoi ideali \( \displaystyle I_1,...,I_r \) a due a due coprimi (ovvero \( \displaystyle I_i+I_j=A \) per ogni \( \displaystyle i \ne j \) ) si ha \( \displaystyle A/I_1...I_r \cong \prod_{i=1}^r A/I_i \) .

[Paolo90]

Uh, grazie mille. Bello, mi piace. Un bel ripasso della teoria (lo faccio a quaderno e libro chiuso ).

Cominciamo.

Potresti cominciare con lo studio dei quozienti di $ZZ$.

1. Anzitutto, $ZZ$ è un PID, quindi tutti i suoi ideali sono principali, vale a dire della forma $(n)=nZZ$.

Adesso, si può far vedere che in $ZZ$
2. $p " elemento primo" iff (p) " primo "$, cioè che gli ideali primi sono tutti e soli quelli generati dai numeri primi
(NB: in $ZZ$, dico primo un numero sse quando divide un prodotto divide uno dei fattori).

Dim. Sia $(p)$ primo e supponiamo che $p|ab$: in altre parole $ab=kp, " con " k in ZZ$, o ancora $ab in (p)$: ciò implica, poichè l'ideale è primo, che $a in (p) vv b in (p)$ cioè $p|a vv p|b$.

Viceversa, se $(ab) in (p)$ e $p$ è un elemento primo, allora ho $p|(ab)=>p|a vv p|b$ da cui di nuovo la tesi.

Quindi, i quozienti $ZZ//(n)$ sono domini d'integrità se e solo se $(n)$ è un ideale primo se e solo $n$ è un numero primo.

Sempre in $ZZ$, vale però la seguente implicazione: se $p$ è un numero primo allora l'ideale principale generato da $p$ è massimale.


Dim. Un ideale si dice massimale se è "massimo" rispetto all'inclusione; supponiamo allora che esista un ideale intermedio tra $(p)$ e $ZZ$, cioè $(p) subset I subset ZZ$: come già osservato prima, $ZZ$ è un PID, per cui anche $I$ è principale, sia $I=(q)$. Poichè $(p) subset (q)$ ho $p in (q)=> p=kq " con " k in ZZ$.
$p$ è primo per ipotesi, e in $ZZ$ vale $p " primo " iff p " irriducibile"$: quindi $p$ è irriducibile. Se $p=kq$ si ha $k " unitario " vv q " unitario"$.
In entrambi i casi ho finito: se $q$ è unitario, ho portato l'unità dentro un ideale (e quindi $(q)=ZZ$); se $k$ è unitario allora $p$ e $q$ sono associati e quindi $(p)=(q)$.

Qui ho bisogno di una precisazione: ho appena fatto vedere che se $p$ è primo l'ideale è massimale. Vale stupidamente anche il viceversa, vero? Infatti, se l'ideale è massimale il quoziente è un campo e quindi anche un dominio (e quindi $(p)$ è primo). In definitiva potevo risparmiarmi la freccia di ritorno sopra, perchè discendeva immediatamente da questo teorema. Ok?

Riassumendo:
In definitiva abbiamo che i quozienti di $ZZ$ sono tutti del tipo $ZZ//(n)$: essi sono campi (e quindi anche domini) se e soltanto se $n$ è un numero primo.
In tutti gli altri casi, l'anello quoziente non è integro.

Dal momento che $ZZ//(n)=ZZ//(nZZ)=ZZ_n$ (dove l'uguaglianza è intesa in senso proprio e non come isomorfismo) abbiamo che $ZZ_n$ è un campo se e soltanto se $n$ è un numero primo.

Tutto a posto fin qui? Che ne dite?

Una domanda che mi viene ora: quali sono le ipotesi minime per cui valga l'equivalenza $p " primo" iff p " irriducibile "$? Basta che $p$ stia in un dominio (non penso)? Che cosa devo richiedere? Un PID? O un UFD?

Se va bene quanto ho scritto fin qui, proseguo dopo con lo studio degli anelli di polinomi.

P.S. Spero non dia fastidio un post un po' teorico... se non vi piace o non è opportuno ditemelo, la smetto di rompere.
P.P.S. Wow, bello l'enunciato del teorema cinese in questa forma: adesso penso anche alla dimostrazione...
Grazie mille, Martino.

[Martino]

Tutto a posto fin qui? Che ne dite?

A posto.

Una domanda che mi viene ora: quali sono le ipotesi minime per cui valga l'equivalenza $p " primo" iff p " irriducibile "$? Basta che $p$ stia in un dominio (non penso)? Che cosa devo richiedere? Un PID? O un UFD?

Hai la doppia implicazione in ogni UFD, quindi anche in ogni PID (ogni PID è UFD - osserva che non ogni UFD è un PID: per esempio?), ma non me la sento di dire che l'ipotesi di essere UFD è un'ipotesi "minima" in questo senso. Prova a trovare un esempio di un dominio di integrità \( \displaystyle A \) che ammette un elemento irriducibile \( \displaystyle a \) tale che l'ideale \( \displaystyle (a) \) non sia massimale. Poi come esercizio di riflessione puoi domandarti che proprietà ha un anello del tipo \( \displaystyle \mathbb{Z}[X]/(x^2-d) \) dove \( \displaystyle d \in \mathbb{Z} \) , per esempio se ammette elementi nilpotenti, se è un dominio di integrità, (domandarsi se è un PID è un problema difficile). In particolare potresti chiederti se \( \displaystyle \mathbb{Z}[X]/(x^2+1) \) è un PID, e cercare di capire quali sono gli elementi irriducibili (probabilmente l'avete fatto a lezione).

Altre cose che mi vengono in mente sui quozienti: puoi provare a dimostrare il teorema di corrispondenza degli ideali, quello che dice che gli ideali di $A//I$ sono in corrispondenza biunivoca canonica con gli ideali di $A$ contenenti $I$.

Per quanto riguarda gli anelli di polinomi ti consiglio di provare a dimostrare il seguente teorema:

Teorema (Struttura di un'estensione semplice). Siano \( \displaystyle K \subseteq F \) due campi, \( \displaystyle \alpha \in F \) . Sia \( \displaystyle f(x) \in K[X] \) un polinomio monico tale che \( \displaystyle f(\alpha)=0 \) e di grado minimo \( \displaystyle n \) tra tutti i polinomi di $K[X]$ che hanno $\alpha$ come radice. Allora:
1- \( \displaystyle f \) esiste ed è unico (si chiama polinomio minimo di \( \displaystyle \alpha \) ).
2- \( \displaystyle K[\alpha] \cong K[X]/(f(x)) \) .
3- Se \( \displaystyle g(x) \in K[X] \) , si ha \( \displaystyle g(\alpha)=0 \) se e solo se \( \displaystyle f(x) \) divide \( \displaystyle g(x) \) in \( \displaystyle K[X] \) .
4- \( \displaystyle K[\alpha] \) è spazio vettoriale di dimensione $n$ su $K$ e una sua base è \( \displaystyle \{1,\alpha,\alpha^2,...,\alpha^{n-1}\} \) .

[Paolo90]

Tutto a posto fin qui? Che ne dite?

A posto.

Ok, grazie.

Una domanda che mi viene ora: quali sono le ipotesi minime per cui valga l'equivalenza $p " primo" iff p " irriducibile "$? Basta che $p$ stia in un dominio (non penso)? Che cosa devo richiedere? Un PID? O un UFD?

Hai la doppia implicazione in ogni UFD, quindi anche in ogni PID (ogni PID è UFD - osserva che non ogni UFD è un PID: per esempio?), ma non me la sento di dire che l'ipotesi di essere UFD è un'ipotesi "minima" in questo senso.

Noi a lezione abbiamo solo accennato a questa faccenda, per cui non sono ferratissimo. In ogni caso, avevo letto qualcosa da qualche parte circa $ZZ[ sqrt(-3)]$, mi pare: dovrebbe essere un esempio di dominio di integrità che non è UFD, ma non ne sono così sicuro.

Mi interessa però di più la questione relativa a \( \displaystyle \mathbb{Z}[X]/(x^2+1) \) : a lezione non abbiamo visto nulla, quindi potrebbe essere questo il posto giusto per approfondire.
C'è già un problema perchè $ZZ[X]$ non è un anello di polinomi a coefficienti in un campo, perchè $ZZ$ ovviamente non è campo.
Quindi non saprei come trattarlo.
Mi dici che è un PID, il che significa - se non sbaglio - che $x^2+1$ è primo in $ZZ[X]$. Giusto? Ma come faccio a capire quali sono gli elementi irriducibili? E i primi?

Altre cose che mi vengono in mente sui quozienti: puoi provare a dimostrare il teorema di corrispondenza degli ideali, quello che dice che gli ideali di $A//I$ sono in corrispondenza biunivoca canonica con gli ideali di $A$ contenenti $I$.

Adesso mi ci dedico con un po' di calma, l'altro sull'estensione semplice me lo tengo per dopo (anche se temo sia troppo tosto per me).

Grazie ancora per il tuo aiuto.

[Martino]

C'è già un problema perchè $ZZ[X]$ non è un anello di polinomi a coefficienti in un campo, perchè $ZZ$ ovviamente non è campo.
Quindi non saprei come trattarlo.
Mi dici che è un PID

Non ho detto che è un PID.

il che significa - se non sbaglio - che $x^2+1$ è primo in $ZZ[X]$. Giusto? Ma come faccio a capire quali sono gli elementi irriducibili? E i primi?

\( \displaystyle \mathbb{Z}[X] \) è un UFD, quindi i primi coincidono cogli irriducibili, e sono proprio i polinomi irriducibili di \( \displaystyle \mathbb{Z}[X] \) (osserva che tra questi ci sono anche tutte le costanti irriducibili). Una domanda più interessante è: quali sono gli ideali primi? E gli ideali massimali? Per rispondere a queste domande è utile prendere un ideale $I$ di $ZZ[X]$ e considerare l'ideale di $QQ[X]$ generato da $I$ (se è un ideale proprio si hanno informazioni di un certo tipo, altrimenti...). Forse questo ti può essere utile.

Grazie ancora per il tuo aiuto.

Prego non c'è di che.

[Martino]

C'è già un problema perchè $ZZ[X]$ non è un anello di polinomi a coefficienti in un campo, perchè $ZZ$ ovviamente non è campo.
Quindi non saprei come trattarlo.
Mi dici che è un PID

Non ho detto che è un PID.

A questo proposito, prova a dimostrare la seguente:

Proposizione: Sia $A$ un anello unitario. Allora l'anello $A[X]$ è un PID se e solo se $A$ è un campo.

[Paolo90]

Caro Martino,

scusami se non ho più risposto ai tuoi interventi, ma sono stato impegnato (ieri ho dato un esame).
Ora posso tornare a dedicarmi con calma all'Algebra, anche perchè mercoledì ho lo scritto.

Veniamo a noi.

Dunque, sono rimaste aperte le questioni:

1. $A[X] " PID " iff A " campo"$. Questo punto mi infastidisce notevolmente.
Abbiamo visto la dimostrazione di questo fatto a lezione, non è difficile. Ad esempio, supponiamo che $A$ sia un campo; prendiamo due polinomi in $A[X]$, siano $alpha(x)$ e $beta(x)$, entrambi non nulli e con coefficienti direttivi $a_n ne 0$ e $b_m ne 0$. Se $alpha(x)beta(x)=0$ allora segue che in particolare che $a_nb_m=0$ e quindi avremmo trovato due zero-divisori in $A$, il che è evidentemente assurdo.

Giusto? L'ho riportata per come l'ho studiata dai miei appunti, spero vada bene.

Se è giusto, scusami, mi dici dov'è che sfrutto il fatto che $A$ sia campo? Non mi basta supporre $A$ dominio?

Per quanto riguarda lo studio di $ZZ[X]$ ti chiedo scusa, mi sono espresso male io: non intendevo dire che tu avevi detto che $ZZ[X]$ era PID, ma che il quoziente $ZZ[X]$ lo era. In ogni caso, ora do un'occhiata al thread che mi hai linkato poi ti faccio sapere.

Per ora grazie.