Anelli - Unità e divisori dello zero

[Lordofnazgul]

Ciao a tutti ragazzi! a breve incombe l'esame di matematica discreta e ho parecchi dubbi:
(
Trovare unità e divisori dello zero di Z/12 e Z/6 x Z/2

credo che per quanto riguardi i divisori dello zero in Z/12 siano tutti i numeri pari (escluso lo zero?) poichè di ordine non primo.
i divisori dello zero in Z/6 x Z/2 dovrebbero essere tutte quello coppie di elementi per il quale lo zero compare una volta: es: ([0] [1]), ([1] [0]), ([2] [0]) e così via...

mentre sono un pò incasinato per le unità. dovrei trovare forse i numeri che sono invertibili?? se si, come posso fare?? grazie mille!

[blackbishop13]

Sei parecchio incasinato anche con i divisori di \( \displaystyle {0} \).
Come definisci i divisori di \( \displaystyle {0} \) in un generico anello R?
diciamo che sono quegli \( \displaystyle {a}\ne{0} \) in \( \displaystyle {R} \) tali che \( \displaystyle \exists{b}\ne{0}\in{R} \) tale che \( \displaystyle {a}{b}={0} \)

se pensi un attimo a questa definizione, capirai che in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{12}} \) non sono solo i numeri pari, ma tutti i divisori di \( \displaystyle {12} \) escluso \( \displaystyle {1} \) per ovvi motivi.

in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{6}} \)x\( \displaystyle \mathbb{Z}_{{2}} \) i divisori di \( \displaystyle {0} \) sono definiti nello stesso modo, solo che qui lo \( \displaystyle {0} \) è l'elemento \( \displaystyle {\left({0},{0}\right)} \).
la tua caratterizzazione è incompleta, mancano alcuni elementi.

Come potresti fare?

Cosa intendi per "unità"? L'unità in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{12}} \) è l'elemento \( \displaystyle {1} \)..
se intendi quelli che non sono divisori di \( \displaystyle {0} \) in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{12}} \), ovvero gli invertibili, devi trovare gli elementi \( \displaystyle {a} \) tali che \( \displaystyle {M}{C}{D}{\left({a},{12}\right)}={1} \)

[Lordofnazgul]

Sei parecchio incasinato anche con i divisori di \( \displaystyle {0} \).
Come definisci i divisori di \( \displaystyle {0} \) in un generico anello R?
diciamo che sono quegli \( \displaystyle {a}\ne{0} \) in \( \displaystyle {R} \) tali che \( \displaystyle \exists{b}\ne{0}\in{R} \) tale che \( \displaystyle {a}{b}={0} \)

se pensi un attimo a questa definizione, capirai che in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{12}} \) non sono solo i numeri pari, ma tutti i divisori di \( \displaystyle {12} \) escluso \( \displaystyle {1} \) per ovvi motivi.

in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{6}} \)x\( \displaystyle \mathbb{Z}_{{2}} \) i divisori di \( \displaystyle {0} \) sono definiti nello stesso modo, solo che qui lo \( \displaystyle {0} \) è l'elemento \( \displaystyle {\left({0},{0}\right)} \).
la tua caratterizzazione è incompleta, mancano alcuni elementi.

Come potresti fare?

Cosa intendi per "unità"? L'unità in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{12}} \) è l'elemento \( \displaystyle {1} \)..
se intendi quelli che non sono divisori di \( \displaystyle {0} \) in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{12}} \), ovvero gli invertibili, devi trovare gli elementi \( \displaystyle {a} \) tali che \( \displaystyle {M}{C}{D}{\left({a},{12}\right)}={1} \)

Ciao,

grazie mille per la tua risposta! mi ha decisamente chiarito le idee su questo argomento.
Quindi, ne deduco che i divisori dello zero in Z/6 x Z/2 sono tutti i divisori di 6 e 2 (eslcuso [1] [1])
cioè, più esattamente, ([1] [2]) ([1] [4]) ([2] [1]) e così via giusto(chiaramente escludendo ([5] [1])?
per l'unità io ho riportato il testo d'esame che aveva scritto la mia prof, penso che però intenda gli invertibili, altrimenti con l'unità intesa come il numero 1 sarebbe banale no??
Grazie mille!


edit: anche ([0] [2]), ([0] [4]) ecc sono compresi nell'elenco dei divisori dello zero in Z/6 x Z/2 giusto?:p

[blackbishop13]

Quindi, ne deduco che i divisori dello zero in Z/6 x Z/2 sono tutti i divisori di 6 e 2 (eslcuso [1] [1])

questa frase non ha molto senso, non si può parlare di divisori di \( \displaystyle {6} \) e \( \displaystyle {2} \) in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{6}} \)x\( \displaystyle \mathbb{Z}_{{2}} \)...
diciamo che dei 12 elementi di \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{6}} \)x\( \displaystyle \mathbb{Z}_{{2}} \) ce ne sono solo 3 che non sono zero divisori:
\( \displaystyle {\left({0},{0}\right)} \)\( \displaystyle {\left({1},{1}\right)} \)\( \displaystyle {\left({5},{1}\right)} \). Tra l'altro di questi, uno è lo zero, gli altri due sono gli invertibili del gruppo.

in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{12}} \) puoi trovare gli invertibili (credo sia questo che il tuo problema voleva) cercando i numeri coprimi con 12, cioè come ho detto gli \( \displaystyle {a} \) tali che \( \displaystyle {M}{C}{D}{\left({12},{a}\right)}={1} \). Quindi quanti e quali sono in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{12}} \)?

N.B. dato un \( \displaystyle {n} \) qualsiasi, esiste una funzione la funzione \( \displaystyle \phi \) di Eulero che ti dice quanti sono i numeri coprimi con \( \displaystyle {n} \).

[Lordofnazgul]

Quindi, ne deduco che i divisori dello zero in Z/6 x Z/2 sono tutti i divisori di 6 e 2 (eslcuso [1] [1])

questa frase non ha molto senso, non si può parlare di divisori di \( \displaystyle {6} \) e \( \displaystyle {2} \) in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{6}} \)x\( \displaystyle \mathbb{Z}_{{2}} \)...
diciamo che dei 12 elementi di \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{6}} \)x\( \displaystyle \mathbb{Z}_{{2}} \) ce ne sono solo 3 che non sono zero divisori:
\( \displaystyle {\left({0},{0}\right)} \)\( \displaystyle {\left({1},{1}\right)} \)\( \displaystyle {\left({5},{1}\right)} \). Tra l'altro di questi, uno è lo zero, gli altri due sono gli invertibili del gruppo.

in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{12}} \) puoi trovare gli invertibili (credo sia questo che il tuo problema voleva) cercando i numeri coprimi con 12, cioè come ho detto gli \( \displaystyle {a} \) tali che \( \displaystyle {M}{C}{D}{\left({12},{a}\right)}={1} \). Quindi quanti e quali sono in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{12}} \)?

N.B. dato un \( \displaystyle {n} \) qualsiasi, esiste una funzione la funzione \( \displaystyle \phi \) di Eulero che ti dice quanti sono i numeri coprimi con \( \displaystyle {n} \).

quindi sostanzialmente da quanto ho capito in Z/6 x Z/2 sono invertibili i numeri che non sono divisori dello zero?? (in questo caso [1] [1] e ([1] [5]) giusto??
Poi in Z/12 devo trovare i numeri che sono coprimi con n, quindi direi [5],[7],[11] giusto?

[blackbishop13]

quindi sostanzialmente da quanto ho capito in Z/6 x Z/2 sono invertibili i numeri che non sono divisori dello zero?? (in questo caso [1] [1] e ([1] [5]) giusto??
Poi in Z/12 devo trovare i numeri che sono coprimi con n, quindi direi [5],[7],[11] giusto?

Ti dirò di più, in un anello finito ogni elemento diverso dall'elemento neutro è o invertibile o 0-divisore. è ovviamente un o esclusivo.
tra i numeri coprimi con 12 manca il numero coprimo con tutti, ovvero [1]. bada che non è superfluo.