Spero nel vostro aiuto...vi sottopongo l'esercizio "maledetto"...
Devo studiare l'anello quoziente \( \displaystyle \mathbb{Q} \)[x]/\( \displaystyle {\left({{x}}^{{4}}-{3}{x}-{1}\right)} \), appurato che il polinomio è irriducibile su \( \displaystyle \mathbb{Q} \),e di conseguenza essendo questo anello un campo, tutte le classi non nulle sono invertibili.
Quindi prendendo in esame la classe \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}}={{x}}^{{3}}+{2} \), si avrà che \( \displaystyle {s}{\left({x}\right)}\cdot{f{{\left({x}\right)}}}+{t}{\left({x}\right)}\cdot{g{{\left({x}\right)}}}={1} \) dove \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={{x}}^{{4}}-{3}{x}-{1} \) e \( \displaystyle {t}{\left({x}\right)} \) è proprio il polinomio che sto cercando, cioè l'inversa di \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}} \).
Procedo con l'algoritmo delle divisioni successive, dal quale ottengo:
\( \displaystyle {{x}}^{{4}}-{3}{x}-{1}={\left({{x}}^{{3}}+{2}\right)}{\left({x}\right)}+{\left(-{5}{x}-{1}\right)} \)
\( \displaystyle {{x}}^{{3}}+{2}={\left(-{5}{x}-{1}\right)}{\left(-\frac{{1}}{{5}}{{x}}^{{2}}+\frac{{1}}{{25}}{x}-\frac{{1}}{{125}}\right)}+\frac{{249}}{{125}} \)
Ora posso esplicitare i resti per arrivare ad ottenere Bezòut, e quindi:
\( \displaystyle {\left(-{5}{x}-{1}\right)}={\left({{x}}^{{4}}-{3}{x}-{1}\right)}-{\left({{x}}^{{3}}+{2}\right)}{\left({x}\right)} \)
\( \displaystyle \frac{{249}}{{125}}={\left({{x}}^{{3}}+{2}\right)}-{\left(-{5}{x}-{1}\right)}{\left(-\frac{{1}}{{5}}{{x}}^{{2}}+\frac{{1}}{{25}}{x}-\frac{{1}}{{125}}\right)} \)
Sostituendo il primo resto della prima riga nella seconda riga ottengo:
\( \displaystyle \frac{{249}}{{125}}={\left({{x}}^{{3}}+{2}\right)}-{\left[{\left({{x}}^{{4}}-{3}{x}-{1}\right)}-{\left({{x}}^{{3}}+{2}\right)}{\left({x}\right)}\right]}{\left(-\frac{{1}}{{5}}{{x}}^{{2}}+\frac{{1}}{{25}}{x}-\frac{{1}}{{125}}\right)} \)
Facendo qualche calcolo:
\( \displaystyle \frac{{249}}{{125}}={\left({{x}}^{{3}}+{2}\right)}-{\left({{x}}^{{4}}-{3}{x}-{1}\right)}{\left(-\frac{{1}}{{5}}{{x}}^{{2}}+\frac{{1}}{{25}}{x}-\frac{{1}}{{125}}\right)}-{\left({{x}}^{{3}}+{2}\right)}{\left(-\frac{{1}}{{5}}{{x}}^{{3}}+\frac{{1}}{{25}}{{x}}^{{2}}-\frac{{1}}{{125}}{x}\right)} \)
Ora moltiplicando tutto per \( \displaystyle \frac{{125}}{{249}} \) dovrei arrivare al risultato che volevo, ossia \( \displaystyle {1}={s}{\left({x}\right)}\cdot{f{{\left({x}\right)}}}+{t}{\left({x}\right)}\cdot{g{{\left({x}\right)}}} \).
Il problema è che mi risulta un \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}} \) di "troppo", non so come ridurre \( \displaystyle {\left({{x}}^{{3}}+{2}\right)} \) che compare nell'equazione...
Probabilmente il mio intoppo è estremamente banale...ma non riesco ad uscirne..
Grazie
