Angolo massimo da retta a segmento - SNS 1976

[elios]

"Dati nel piano un segmento \( \displaystyle {A}{B} \) ed una retta \( \displaystyle {r} \), che non intersechi \( \displaystyle {A}{B} \), determinare il punto (o i punti) di \( \displaystyle {r} \), dai quali \( \displaystyle {A}{B} \) è visto secondo un angolo massimo"

Il mio intuito mi dice che la soluzione sia quella per cui, chiamando \( \displaystyle {C} \) il vertice dell'angolo che cerco, \( \displaystyle {A}{C}+{C}{B} \) sia minima, cioè il problema di Eulero, cioè tracciando il simmetrico di \( \displaystyle {A} \) rispetto ad \( \displaystyle {r} \) e collegando questo punto con \( \displaystyle {B} \) interseco la retta \( \displaystyle {r} \) proprio nel punto \( \displaystyle {C} \), ma non riesco a motivare in modo decente questa cosa..
Una cosa evidente mi pare sia che il punto \( \displaystyle {C} \) che cerchiamo è all'interno del segmento proiezione di \( \displaystyle {A}{B} \) su \( \displaystyle {r} \), cioè tracciando i segmenti verticali da A e B ad \( \displaystyle {r} \), perché per i punti esterni a questo segmento l'angolo alla base diviene ottuso..

Grazie di ogni suggerimento.

[WiZaRd]

Il problema credo non sia di Eulero, ma di Erone.
Ad ogni modo non credo che centri il problema di Erone. Io punterei sull'uso delle circonferenze. In che modo, questo non lo so. Ma io punterei sulle circonferenze. Il motivo? Sarà banale, ma mi insospettisce quel "il punto (o i punti)".

[nontrivialzero]

Ciao, se consideriamo \( \displaystyle {r} \) parallela ad \( \displaystyle {A}{B} \) il vertice \( \displaystyle {C} \) si troverebbe dove la perpendicolare ad \( \displaystyle {A}{B} \) per il suo punto medio, interseca \( \displaystyle {r} \). Quindi mi viene da pensare che il \( \displaystyle {C} \) deve sempre trovarsi nel punto in cui \( \displaystyle {r} \) è tangente alla circonferenza di cui il segmento \( \displaystyle {A}{B} \) è una corda. Come costruire questa circonferenza proprio non lo so. (spero di essere stato chiaro)

[elios]

Ho provato a lavorare con le circonferenze.. Allora continuo a provarci..

[WiZaRd]

Ciao, se consideriamo \( \displaystyle {r} \) parallela ad \( \displaystyle {A}{B} \) il vertice \( \displaystyle {C} \) si troverebbe dove la perpendicolare ad \( \displaystyle {A}{B} \) per il suo punto medio, interseca \( \displaystyle {r} \). Quindi mi viene da pensare che il \( \displaystyle {C} \) deve sempre trovarsi nel punto in cui \( \displaystyle {r} \) è tangente alla circonferenza di cui il segmento \( \displaystyle {A}{B} \) è una corda. Come costruire questa circonferenza proprio non lo so. (spero di essere stato chiaro)

nontrivialzero ti voglio tanto tanto bene!
Questo tuo pensiero ha dato forma alla mia intuizione.
Ciò premesso, risolviamo il problema!

Claim
Dati nel piano il segmento \( \displaystyle {\left[{A}{B}\right]} \) e la retta \( \displaystyle {r} \) di modo che \( \displaystyle {\left[{A}{B}\right]}\cap{r}=\emptyset \), trovare i punti \( \displaystyle {P}\in{r} \) di modo che sia massimo \( \displaystyle \angle{A}{P}{B} \).



Soluzione

I punti che risolvono il problema sono i punti di tangenza tra una generica circonferenza passante per i punti \( \displaystyle {A},{B} \) e la retta \( \displaystyle {r} \).

Dimostrazione. Con riferimento alla figura sottostante siano \( \displaystyle {P} \) il punto di tangenza tra la circonferenza per \( \displaystyle {A},{B} \) e la retta \( \displaystyle {r} \), \( \displaystyle {Q} \) un punto distinto da \( \displaystyle {P} \) e \( \displaystyle {Q}' \) l'intersezione tra il segmento \( \displaystyle {\left[{B}{Q}\right]} \) e la circonferenza suddetta.

Per ovvie ragioni risulta \( \displaystyle \angle{A}{Q}'{B}=\angle{A}{P}{B} \) e \( \displaystyle \angle{A}{Q}{Q}'\lt\angle{A}{Q}'{B} \), donde la tesi. \( \displaystyle \boxempty \)

Di circonferenze passanti per \( \displaystyle {A},{B} \) e tangenti ad \( \displaystyle {r} \) ve ne sono due, a condizione che non sia \( \displaystyle {\left[{A}{B}\right]}{\mid}{\mid}{r} \): una nel semipiano di sinistra determinato dalla retta \( \displaystyle {A}{B} \) e una nel semipiano di destra.



Quindi il problema consiste ora nel determinare i due punti \( \displaystyle {P}_{{{1}}},{P}_{{{2}}} \). Per trovarli non è necessario costruire le due circonferenze.



Sia \( \displaystyle {O}={A}{B}\cap{r} \): si vede subito che \( \displaystyle \Delta{A}{O}{P}_{{{1}}} \) e \( \displaystyle \Delta{A}{B}{P}_{{{1}}} \) sono simili, avendo gli stessi angoli, sicché \( \displaystyle {\left[{O}{A}\right]}:{\left[{O}{P}_{{{1}}}\right]}={\left[{O}{P}_{{{1}}}\right]}:{\left[{O}{B}\right]} \) e quindi \( \displaystyle {\left[{O}{P}_{{{1}}}\right]}=\pm\sqrt{{{\left[{O}{A}\right]}\cdot{\left[{O}{B}\right]}}} \), ove i segni \( \displaystyle + \) e \( \displaystyle - \) possono essere interpretati come il trovarsi a destra e a sinistra del punto \( \displaystyle {O} \). Per costruire questo punto si prolunga \( \displaystyle {\left[{A}{B}\right]} \) ottenendo \( \displaystyle {A}{B} \) e poi si procede come indicato (gentilemente) da adaBTTLS qui. Il punto \( \displaystyle {P}_{{{2}}} \) è ovviamente il simmetrico di \( \displaystyle {P}_{{{1}}} \) rispetto ad \( \displaystyle {O} \).

Dei due punti, quello che si trova nel semipiano cui appartiene l'angolo convesso \( \displaystyle \angle{A}{O}{r} \) è il maggiore: quindi uno è un punto di massimo locale (i.e. sulla semiretta cui appartiene massimizza l'angolo), l'altro è un punto di massimo globale.

Se \( \displaystyle {\left[{A}{B}\right]}{\mid}{\mid}{r} \), come già osservato da nontrivialzero c'è un solo punto che risolve il problema: i.e. la propiezione del punto mediano di \( \displaystyle {\left[{A}{B}\right]} \).


Domanda: siete d'accordo con me?

[elios]

nontrivialzero ti voglio tanto tanto bene!

Wizard io voglio tanto tanto bene a te, mi stavo scervellando.. Nella disperazione, ho persino iniziato a fare i calcoli per la geometria analitica, ti faccio immaginare quale fosse il mio stato..
Grazie!

[WiZaRd]

Ma prego! Quando si può, si dà una mano.

Il merito della soluzione va però a nontrivialzero: avevo capito che ci volevano le circonferenze, ma non avevo capito come.
Io ho solo "copiato" in bella.

[elios]

Beh a dirla così, diciamo pure che il merito della soluzione è mio dato che ho proposto il problema e poi voi lo avete solo portato in bella, eh! ahah!

[nontrivialzero]

Beh, grazie per avermi dato il merito, ma non credo che sarei mai riuscito a giungere alla soluzione. Sono un dilettante della matematica, spesso vedo la strada giusta ma poi non riesco a percorrerla. Comunque sono felice di essere stato d'aiuto.