Antitrasformata di laplace

[Lionel]

Salve! Senza servirsi della definizione come è possibile ricavare l'antitrasformata di laplace della seguente funzione:

\( \displaystyle {x}{\left({s}\right)}=\frac{{{7}\cdot{s}}}{{{s}+{3}}} \)

La presenza di \( \displaystyle \frac{{7}}{{{s}+{3}}} \) mi fa pensare ad un esponenziale dunque l'antitrasformata sarebbe \( \displaystyle \frac{{1}}{{{s}+{3}}}={{e}}^{{-{3}{t}}} \), ma con quella \( \displaystyle {s} \) al numeratore sono in alto mare...consigli?

[luca.barletta]

Puoi usare la proprietà

\( \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{s\cdot f(s)\}(t)=F'(t)+F(0^+)\delta(t) \)

con \( \displaystyle F \) derivabile su \( \displaystyle (0,\infty) \) .

[Lionel]

Puoi usare la proprietà

\( \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{s\cdot f(s)\}(t)=F'(t)+F(0^+)\delta(t) \)

con \( \displaystyle F \) derivabile su \( \displaystyle (0,\infty) \) .

dunque se ho capito viene:

\( \displaystyle {{L}}^{{-{{1}}}}{\left({7}\frac{{s}}{{{s}+{3}}}\right)}={7}{{L}}^{{-{{1}}}}{\left(\frac{{s}}{{{s}+{3}}}\right)}={7}{\left(-{3}\cdot{{e}}^{{-{{3}}}}+{{e}}^{{{{0}}^{+}{t}}}\cdot\delta{\left({t}\right)}\right)} \)

Perché la funzione deve essere valutata da \( \displaystyle {{0}}^{+} \)?

[luca.barletta]

Perché la funzione deve essere valutata da \( \displaystyle {{0}}^{+} \)?

Ti rendi conto che esce fuori quel termine quando dimostri la trasformata della derivata

\( \displaystyle \mathcal{L}\{x'(t)\}(s)=s\cdot X(s)-x(0^{+}) \)

tramite la definizione. Prova per esercizio.

[Lionel]

Perché la funzione deve essere valutata da \( \displaystyle {{0}}^{+} \)?

Ti rendi conto che esce fuori quel termine quando dimostri la trasformata della derivata

\( \displaystyle \mathcal{L}\{x'(t)\}(s)=s\cdot X(s)-x(0^{+}) \)

tramite la definizione. Prova per esercizio.

Fatto e soprattutto capito!!!